Chi tiết thông tin

Bài 3 : Ứng dụng của tích phân trong hình học

36 View

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 114:

Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn các đường thẳng y = -2x – 1, y = 0, x = 1 và x = 5. So sánh với diện tích hình thang vuông trong câu hỏi 1 bài 2. Lời giải: Ta có diện tích hình thang cần tính

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 117:

Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h. Lời giải: Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao là h là: V = B*h.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 119:

Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học. Lời giải: - Khái niệm mặt tròn xoay: Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ và chứ đường L. Khi quay mặt (P) xung quanh Δ một góc 360o thì đường L tạo nên một mặt tròn xoay. Mặt tròn xoay đó nhận Δ làm trục, đường L được gọi là đường sinh. - Khái niệm khối tròn xoay: Khối tròn xoay là khối hình học được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một đường thẳng cố định (trục quay) của hình.

Bài 1 (trang 121 SGK Giải tích 12):

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) y = x²;y = x + 2 b) y =|lnx|; y = 1 c) y = (x - 6)²; y = 6x - x² Lời giải: a) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình : x² = x + 2 ⇔ x² – x – 2 = 0 ⇔

Vậy diện tích cần tìm là:

b) Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của pt :

Vậy diện tích cần tìm là:

(Vì lnx > 0 khi 1 < x < e và lnx < 0 khi

)

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của pt : (x - 6)² = 6x - x² ⇔ (x – 6)² + x² – 6x = 0 ⇔ (x - 6). (x - 6+ x) = 0 ⇔ (x - 6)(2x - 6) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 6 Vậy diện tích cần tìm là:

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ; y = g(x) và hai đường thẳng x = a ; x = b là :

Bài 2 (trang 121 SGK Giải tích 12): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x²+1 , tiếp tuyến với đường này tại điểm M(2; 5) và trục Oy. Lời giải: Xét hàm số y = x² + 1 có đạo hàm y’ = 2x Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = x² + 1 tại điểm M(2; 5) là : y = y’(2).(x – 2) + 5 ⇔ y = 4(x- 2) + 5 hay y = 4x - 3 Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và tiếp tuyến là : x² + 1 = 4x – 3 ⇔ x² - 4x + 4 = 0 ⇔ x= 2 Vậy diện tích hình giới hạn bởi y = x² + 1; tiếp tuyến y = 4x – 3 và trục Oy (x = 0) là:

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ; y = g(x) và hai đường thẳng x = a ; x = b là :

+ Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm M(x₀ ; y₀) là : y = f’(x₀).( x- x₀) + y₀

Bài 3 (trang 121 SGK Giải tích 12):

Parabol

chia hình tròn có tâm tại gộc toạ độ, bán kính 2√2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng. Lời giải:

Bài 4 (trang 121 SGK Giải tích 12):

Tính thể tích khối tròn xoay đó hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox:

Lời giải: a) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:

b) Thể tích khối tròn xoay cần tính:

c) Thể tích khối tròn xoay cần tính:

Kiến thức áp dụng

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục Ox, đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox tạo thành là:

Bài 5 (trang 121 SGK Giải tích 12):

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt

OM = R

Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox (H.63). a) Tính thể tích của V theo α và R. b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất.

Lời giải: a) Ta có: OP = OM.cosα = R. cosα Phương trình đường thẳng OM đi qua O nên có dạng: y = k.x OM tạo với trục hoành Ox 1 góc ⇒ Hệ số góc k = tanα ⇒ OM: y = x.tanα Vậy khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x.tanα; y = 0; x = 0; x = R.cosα quay quanh trục Ox

* Ta tìm giá trị lớn nhất của P = cosα – cos3α

Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng: y = kx. Trong đó, k là hệ số góc và k = tan α với α là góc tạo bởi đưởng thẳng và tia Ox. + Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục Ox và hai đường thẳng x= a và x = b (a < b) là: