Một số phương pháp giải bài toán phương trình nghiệm nguyên. Tài liệu gồm 67 trang, hướng dẫn một số phương pháp giải bài toán phương trình nghiệm nguyên, kèm các ví dụ minh họa có đáp số và hướng dẫn giải chi tiết.

I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Phương pháp 1. Sử dụng các tính chất về quan hệ chia hết.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn.
+ Xét số dư hai vế của phương trình để chỉ ra phương trình không có nghiệm, tính chẵn lẻ của các vế.
+ Đưa phương trình về dạng phương trình ước số.
+ Phát hiện tính chia hết của các ẩn.
+ Sử dụng tính đồng dư của các đại lượng nguyên.
Phương pháp 2. Đưa hai vế về tổng các bình phương.
Ý tưởng của phương pháp là biến đổi phương trình về dạng vế trái là tổng của các bình phương và vế phải là tổng của các số chính phương.

Phương pháp 3. Sử dụng các tính chất của số chính phương.
Một số tính chất của số chính phương thường được dùng trong giải phương trình nghiệm nguyên.
+ Một số tính chất về chia hết của số chính phương.
+ Nếu 2 2 a n a1 với a là số nguyên thì n không thể là số chính phương.
+ Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương.
+ Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó bằng 0.
Phương pháp 4. Phương pháp đánh giá.
Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các ẩn, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức.
+ Phương pháp sắp thứ tự các ẩn.
+ Xét khoảng giá trị của các ẩn.
+ Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki.
Phương pháp 5. Sử dụng tính chất của phương trình bậc hai.
Ý tưởng của phương pháp là quy phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn, các ẩn còn lại đóng vai trò tham số. Khi đó các tính chất của phương trình bậc hai thường được sử dụng dưới các dạng như sau:
+ Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 của phương trình bậc hai.
+ Sử dụng hệ thức Vi – et.
+ Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.
Phương pháp 6. Phương pháp lùi dần vô hạn.
Ý tưởng của phương pháp lùi dần vô hạn có thể hiểu như sau: Giả sử (x y z 0 0 0) là nghiệm của f x y z 0. Nhờ những biến đổi và suy luận số học ta tìm được một nghiệm khác (x y z 1 1 1) sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi một tỉ số k nào đó, chẳng hạn 0 1 0 10 1 x kx y ky z kz. Lập luận tương tự ta lại được bộ số nguyên (x y z 2 2 2) thỏa mãn 1 2 1 11 2 x kx y ky z kz. Quá trình cứ tiếp tục dẫn đến 0 00 x y z cùng chia hết cho n k với n là một số tự nhiên tuỳ ý. Điều này xảy ra khi và chỉ khi xyz0. Để rõ ràng hơn ta xét các ví dụ sau.

II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú, nó có thể là phương trình một ẩn hay nhiều ẩn. Nó có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao. Cũng có những phương trình dạng đa thức hoặc dạng lũy thừa. Ta có thể chia phương trình nghiệm nguyên thành một số dạng như sau.
1. Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức.
2. Phương trình nghiệm nguyên dạng phân thức.
3. Phương trình nghiệm nguyên có chứa căn.
4. Phương trình nghiệm nguyên dạng lũy thừa.
5. Hệ phương trình nghiệm nguyên.