Ôn tập chương 4

Lý thuyết Tổng hợp chương Giới hạn

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu:  hay un → 0 khi n → +∞. Định nghĩa 2 Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu  Kí hiệu:  hay vn → a khi n → +∞. 2. Một vài giới hạn đặc biệt a)  với k nguyên dương; b)  nếu |q| < 1; c) Nếu un = c (c là hằng số) thì  Chú ý: Từ nay về sau thay cho  ta viết tắt là lim un = a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1 a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa - Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞. - Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞. Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ khi n → +∞. Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞ 2. Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau a) lim nk = +∞ với k nguyên dương; b) lim qn = +∞ nếu q > 1. 3. Định lí 2 a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì  b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0, ∀ n > 0 thì  c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K {x0}. Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K {x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L. Kí hiệu:  hay f(x) → L khi x → x0. Nhận xét:  với c là hằng số. 2. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1 3. Giới hạn một bên Định nghĩa 2 - Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b). Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L. Kí hiệu:  - Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0). Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L. Kí hiệu:  Định lí 2

II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa 3 a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L. Kí hiệu:  b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L. Kí hiệu:  Chú ý: a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞

III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ

1. Giới hạn vô cực Định nghĩa 4 Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞ 2. Một vài giới hạn đặc biệt   3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
L > 0 +∞ +∞
–∞ –∞
L < 0 +∞ –∞
–∞ +∞
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương 
Dấu của g(x)
L ± ∞ Tùy ý 0
L > 0 0 +∞ +∞
–∞ –∞
L < 0 +∞ –∞
–∞ +∞

HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2 Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Định lí 2 Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó: a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0; b) Hàm số  liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0. Định lí 3 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.. Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

Bài 1 (trang 141 SGK Đại số 11): 

Hãy lập bảng liệt kê các giới hạn đặc biệt của dãy số và giới hạn đặc biệt của hàm số. Lời giải:

Bài 2 (trang 141 SGK Đại số 11 Ôn tập):

Cho hai dãy số (un) và (vn). Biết |un – 2| ≤ vn với mọi n và lim vn = 0. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (un)? Lời giải: Lấy số dương ε bé tùy ý bất kì: ⇒ có một số n0 thỏa mãn: |vn| < ε kể từ n = n0. ⇒ |un – 2| < vn < |vn| < ε kể từ n = n0 trở đi ⇒ lim (un – 2) = 0 ⇒ lim un = 2. Kiến thức áp dụng
Dãy số (un) có lim un = 0 nếu |un| có thể nhỏ hơn 1 số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Bài 3 (trang 141 SGK Đại số 11 Ôn tập): 

Tên một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị một trong các biểu thức A, H, N, O với Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. Lời giải:    Khi thay đổi chữ số 1530 bởi các biểu thức giới hạn tương ứng ta được chữ HOAN là tên các bạn học sinh đã cho.

Bài 4 (trang 142 SGK Đại số 11):

a. Có nhận xét gì về công bội của các cấp số nhân lùi vô hạn? b. Cho ví dụ về một cấp số nhân lùi vô hạn và có công bội là số âm và một cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là số dương và tính tổng của các cấp số nhân đó. Lời giải: a) Cấp số nhân vô hạn với công bội q mà |q| < 1 là cấp số nhân lùi vô hạn b) Ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn có công bội âm:  

Bài 5 (trang 142 SGK Đại số 11): 

Tìm các giới hạn sau: Lời giải: f) Ta có: Kiến thức áp dụng
Giả sử có : + Nếu L, M là số hữu hạn, M ≠ 0 thì  + Nếu L hữu hạn, M = ±∞ thì  + Nếu L = ∞; M hữu hạn, M ≠ 0 thì  khi f(x) và g(x) cùng dấu ;  khi f(x) và g(x) trái dấu. + Nếu L hữu hạn, M = 0 thì  khi f(x) và g(x) cùng dấu ;  khi f(x) và g(x) trái dấu.

Bài 6 (trang 142 SGK Đại số 11): 

Cho hai hàm số f(x) = ... Lời giải:   b) Nhận thấy hình a) khi x → +∞ thì y → +∞ ⇒ Hình a) là đồ thị hàm số y = g(x). Hình b) khi x → +∞ thì y → -1 ⇒ Hình b) là đồ thị hàm số y = f(x). Kiến thức áp dụng
+ Khi  thì ta có: Nếu  và g(x) cùng dấu thì  Nếu  và g(x) trái dấu thì 

Bài 7 (trang 143 SGK Đại số 11): 

Xét tính liên tục trên R của hàm số: Lời giải: ⇒ g(x) liên tục tại 2. Vậy hàm số g(x) liên tục trên R. Kiến thức áp dụng
+ Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu  + Hàm đa thức liên tục trên R, hàm phân thức liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Bài 8 (trang 143 SGK Đại số 11): 

Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5) Lời giải: Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2 f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R. Ta có: f(0) = –2 < 0 f(1) = 1 > 0 f(2) = -8 < 0 f(3) = 13 > 0 ⇒ f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0 ⇒ Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3) ⇒ f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5). Kiến thức áp dụng
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Bài 9 (trang 143 SGK Đại số 11): 

Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A.Một dãy số có giới hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm. B.Nếu (un) là dãy số tăng thì lim un = + ∞ . C.Nếu lim un = + ∞ và lim vn = + ∞ thì lim (un – vn) = 0 D.Nếu un = an và – 1 < a < 0 thì lim un = 0. Lời giải: Chọn đáp án D. Giải thích :

Bài 10 (trang 143 SGK Đại số 11):

Lời giải: Chọn đáp án B. Giải thích :

Bài 11 (trang 143 SGK Đại số 11):

Lời giải: Chọn đáp án C. Giải thích: un là tổng n số hạng đầu tiên của CSN có số hạng đầu u1 = √2, công bội q = √2. + Lưu ý: Đây không phải tổng của CSN lùi vô hạn vì công bội q > 1 nên không thể áp dụng công thức tổng của CSN lùi vô hạn.

Bài 12 (trang 144 SGK Đại số 11):

Lời giải:

Bài 13 (trang 144 SGK Đại số 11):

Lời giải:

Bài 14 (trang 144 SGK Đại số 11):

Cho hàm số: Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m bằng: A. 4 B. -1 C. 1 D. -4 Lời giải: Chọn đáp án D. Giải thích : Ta có:

Bài 15 (trang 144 SGK Đại số 11): 

Cho phương trình -4x3 + 4x- 1 = 0 (1) Mệnh đề sai: Lời giải: Chọn đáp án B. Giải thích: Đặt f(x) = -4x3 + 4x – 1. + f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R ⇒ A đúng. + f(-2) = 23; f(1) = -1 ⇒ f(-2).f(1) < 0 ⇒ f(x) có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (-2; 1) ⊂ (-∞; 1). ⇒ B sai. + f(0) = -1 ⇒ f(-2).f(0) < 0 ⇒ f(x) có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (-2; 0). ⇒ C đúng. ⇒f(x) có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng  Kết hợp với C ⇒ f(x) có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng  . ⇒ D đúng.  

Các bài viết liên quan

Bài 3: Điện trường và cường độ điện trường-Đường sức điện

46 View

Bài 1: Điện tích Định luật Cu-lông

47 View

Bài 46 : Luyện tập : Anđehit - Xeton- Axit cacboxylic

42 View

Các bài viết được xem nhiều nhất

Theo dõi Captoc trên

Khoa học xã hội

Facebook Group

270.000 members

Khoa học tự nhiên

Facebook Group

96.000 members