Chi tiết thông tin

Ôn tập chương 2

107 View

Lý thuyết Tổng hợp chương Tổ hợp - Xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện. 2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. 3. Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). - Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử. - Số các hoán vị của n phần tử là: P_n = n(n-1)...2.1 = n! 4. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). - Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. - Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

5. Tổ hợp: Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1). - Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n). Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

6. Công thức nhị thức Niu-tơn: (a + b)ⁿ = C_n⁰aⁿ + C_n¹a^{n - 1}b + … + C_n^ka^{n - k}b^k + … + C_n^n-1ab^n-1 + C_nⁿbⁿ 7. Phép toán trên các biến cố: - Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Khi đó, tập ΩA được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−. - Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử: + Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B. + Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B. + Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc. 8. Xác suất của biến cố: Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là: trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. 9. Tính chất của xác suất: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. P(∅) = 0, P(Ω) = 1 0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A. Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất) Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A). A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Bài 1 (trang 76 SGK Đại số 11):

Phát biểu quy tắc cộng Lời giải: + Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện. Quy tắc cộng có thể mở rộng với nhiều hành động. + Ví dụ: Có hai tổ học sinh tham gia lao động, tổ thứ nhất có 8 học sinh, tổ thứ hai có 10 học sinh. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh thuộc cùng một tổ? Giải: TH1: Chọn 3 học sinh thuộc tổ thứ nhất: ⇒ Có: C³₈ = 56 cách chọn. TH2: Chọn 3 học sinh thuộc tổ thứ hai: ⇒ Có: C³₁₀ = 120 cách chọn. Theo quy tắc cộng ⇒ Cô giáo có: 120 + 56 = 176 (cách chọn).

Bài 2 (trang 76 SGK Đại số 11):

Phát biểu quy tắc nhân: Lời giải: + Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện thì công việc đó được hoàn thành bởi m.n cách thực hiện. Quy tắc nhân có thể mở rộng đối với nhiều hành động liên tiếp. + Ví dụ áp dụng: Một nhóm học sinh gồm 8 nam và 10 nữ tham gia văn nghệ. Cô giáo cần chọn ra một đội gồm 2 nam và 2 nữ để biểu diễn một tiết mục múa. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chọn? Giải: Việc chọn 2 nam và 2 nữ là một công việc cần hoàn thành bởi 2 bước liên tiếp: + Chọn 2 học sinh nam: Có C²₈ = 28 (cách chọn). + Chọn 2 học sinh nữ: Có C²₁₀ = 45 (cách chọn) ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 28.45 = 1260 (cách chọn).

Bài 3 (trang 76 SGK Đại số 11):

Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử. Lời giải: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập hợp con k phần tử của một tập hợp n phần tử được sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Tổ hợp chập k của n phần tử là tập hợp con k phần tử của một tập hợp n phần tử không để ý đến thứ tự các phần tử của tập hợp con đó.

Bài 4 (trang 76 SGK Đại số 11):

Có bao nhiêu số chẵn có bốn số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho: a) Các chữ số có thể giống nhau b) Các chữ số khác nhau Lời giải: a. Có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị 6 cách chọn chữ số hàng nghìn 7 cách chọn chữ số hàng trăm 7 cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 4.6.7.7 = 1176 (số) b. TH1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0 ⇒ Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn 5 cách chọn chữ số hàng trăm 4 cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số) TH2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0. ⇒ Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị) Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm Có 4 cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số) ⇒ Theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.

Bài 5 (trang 76 SGK Đại số 11):

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi thành sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất cho: a. Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. b. Ba bạn nam ngồi bên cạnh nhau. Lời giải: Không gian mẫu là việc sắp xếp 6 bạn vào 6 ghế tùy ý ⇒ n(Ω) = P₆ = 6! = 720. a. Gọi A: “ Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau” + Chọn chỗ ngồi cho 3 bạn nữ: Có 2 cách (Vị trí 1,3,5 hoặc 2,4,6). + Sắp xếp 3 bạn nữ vào 3 chỗ: Có 3! = 6 cách + Sắp xếp 3 bạn nam vào 3 chỗ còn lại: Có 3! = 6 cách ⇒ Theo quy tắc nhân: n(A) = 2.6.6 = 72 (cách). ⇒ n(A) = 2.3!.3! = 72

b. B: “Ban bạn nam ngồi cạnh nhau” + Chọn 3 chỗ ngồi cạnh nhau cho 3 bạn nam: Có 4 cách. + Sắp xếp 3 bạn nam vào 3 chỗ: Có 3! = 6 cách. + Sắp xếp 3 bạn nữ vào 3 chỗ còn lại: Có 3! = 6 cách ⇒ Theo quy tắc nhân: n(B) = 4.6.6 = 144 (cách)

Xác suất để ba bạn nam ngồi cạnh nhau là:

Bài 6 (trang 76 SGK Đại số 11):

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho: a. Bốn quả lấy ra cùng màu; b. Có ít nhất một quả màu trắng. Lời giải: Không gian mẫu là kết quả việc chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu.

a. A: “ Bốn quả lấy ra cùng màu” TH1: Bốn quả lấy ra cùng đen

TH2: Bốn quả lấy ra cùng trắng

b. B: “ Cả 4 quả lấy ra đều màu đen” ⇒ B−: “ Có ít nhất 1 quả màu trắng”.

Bài 7 (trang 77 SGK Đại số 11):

Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần Lời giải: Không gian mẫu là kết quả của việc gieo 3 lần súc sắc ⇒ n(Ω) = 6.6.6 = 216. A: “ Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần” ⇒ A−: “ Không xuất hiện mặt 6 chấm”

Bài 8 (trang 77 SGK Đại số 11):

Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là: a. Cạnh của lục giác. b. Đường chéo của lục giác. c. Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác. Lời giải: Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 2 thẻ trong số 6 thẻ.

a. Gọi A: “ Hai điểm là đầu mút của cạnh của lục giác” ⇒ n(A) = 6 (Lục giác có 6 cạnh)

b. Gọi B: “ Hai điểm là đầu mút của đường chéo” ⇒ B = A− (Vì một đoạn thẳng chỉ có thể là một cạnh hoặc một đường chéo) ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 – 0,4 = 0,6 c. Gọi C: “ Hai điểm là đầu mút của đường chéo nối hai đỉnh đối diện” ⇒ n(C) = 3

Bài 9 (trang 77 SGK Đại số 11):

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho: a. Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn. b. Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ. Lời giải: Không gian mẫu là kết quả của việc gieo đồng thời hai con xúc sắc. ⇒ Ω = {(i; j); 1 ≤ i, j ≤ 6}. ⇒ n(Ω) = 6.6 = 36. a) Gọi A: “Cả hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn” ⇒ A = {(2; 2); (2; 4); (2; 6); (4; 2); (4; 4); (4; 6); (6; 2); (6; 4); (6; 6)} ⇒ n(A) = 9.

b) Gọi B: “Tích số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ” Vì tích hai số là lẻ chỉ khi cả hai thừa số đều lẻ nên : B = {(1; 1); (1; 3); (1; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5); (5; 1); (5; 3); (5; 5)} ⇒ n(B) = 9

Bài 10 (trang 77 SGK Đại số 11):

Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là: A. 104 B. 1326 C. 450 D. 2652 Lời giải: Chọn đáp án B. Giải thích : Việc chọn 2 con bài từ cỗ bài 52 con là việc lấy ra tập hợp 2 phần tử từ tập hợp 52 phần tử và là tổ hợp chập 2 của 52 ⇒ Có:

cách chọn.

Bài 11 (trang 77 SGK Đại số 11):

Năm người được xếp vào ngồi quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là: A. 50 B. 100 C. 120 D. 24 Lời giải: Chọn đáp án D Giải thích: Với 5 người A, B, C, D, E xếp hàng ngang (hay dọc) thì có 5! = 120 cách xếp. Nhưng với 5 hoán vị khác nhau theo hàng ngang là ABCDE, DEABC, CDEAB nhưng xếp quanh bàn tròn như hình vẽ chỉ là một cách xếp. Vậy số cách xếp 5 người ngồi quanh bàn tròn là: n = 5!/5= 4! = 24 (cách)

Bài 12 (trang 77 SGK Đại số 11):

Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm.

Lời giải: Chọn đáp án B. Giải thích: Không gian mẫu có: 6 × 6 = 36 phần tử. Số trường hợp gieo hai con súc sắc không có con nào 6 chấm là: 5 × 5 = 25. Số trường hợp hai con súc sắc có ít nhất một con 6 là: 36 – 25 = 11. Xác suất để ít nhất một con súc sắc xuất hiện 6 chấm là: P(A) = 11/36 Chọn đáp án B.

Bài 13 (trang 77 SGK Đại số 11):

Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:

Lời giải: Số cách lấy 2 quả cầu bất kì là:

Số cách lấy được 2 quả cầu trắng là:

Xác suất để lấy được hai quả cầu trắng là:

Chọn đáp án A.

Bài 14 (trang 77 SGK Đại số 11):

Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:

Lời giải: Không gian mẫu có 6³ = 216 phần tử. Số trường hợp cả ba con súc sắc xuất hiện cùng số chấm là 6 trường hợp. Xác suất cần tìm là: 6/216 Chọn đáp án C.

Bài 15 (trang 78 SGK Đại số 11):

Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:

Lời giải: Số trường hợp xảy ra có thể là: 2⁴ = 16 Chỉ có duy nhất một trường hợp cả 4 lần đều xuất hiện sấp. Xác suất cần tính là: P(X) = 1/16 Chọn đáp án C.