Ôn tập chương 2

Lý thuyết Tổng hợp chương Tổ hợp - Xác suất

1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện. 2. Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc. 3. Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). - Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử. - Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n(n-1)...2.1 = n! 4. Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). - Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. - Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: 5. Tổ hợp: Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1). - Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n). Số các tổ hợp chập k của n phần tử là: 6. Công thức nhị thức Niu-tơn: (a + b)n = Cn0an + Cn1an - 1b + … + Cnkan - kbk + … + Cnn-1abn-1 + Cnnbn 7. Phép toán trên các biến cố: - Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử. Khi đó, tập ΩA được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A−. - Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử: + Tập A ⋃ B được gọi là hợp của các biến cố A và B. + Tập A ⋂ B được gọi là giao của các biến cố A và B. + Nếu A ⋂ B = ∅ thì ta nói A và B xung khắc. 8. Xác suất của biến cố: Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, xác suất của biến cố A là: trong đó: n(A) là số phần tử của A; còn n(Ω) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. 9. Tính chất của xác suất: Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. P(∅) = 0, P(Ω) = 1 0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A. Nếu A và B xung khắc, thì P(AB) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất) Với mọi biến cố A, ta có: P(A−) = 1 – P(A). A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B).

Bài 1 (trang 76 SGK Đại số 11): 

Phát biểu quy tắc cộng Lời giải: + Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện. Quy tắc cộng có thể mở rộng với nhiều hành động. + Ví dụ: Có hai tổ học sinh tham gia lao động, tổ thứ nhất có 8 học sinh, tổ thứ hai có 10 học sinh. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh thuộc cùng một tổ? Giải: TH1: Chọn 3 học sinh thuộc tổ thứ nhất: ⇒ Có: C38 = 56 cách chọn. TH2: Chọn 3 học sinh thuộc tổ thứ hai: ⇒ Có: C310 = 120 cách chọn. Theo quy tắc cộng ⇒ Cô giáo có: 120 + 56 = 176 (cách chọn).

Bài 2 (trang 76 SGK Đại số 11): 

Phát biểu quy tắc nhân: Lời giải: + Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện thì công việc đó được hoàn thành bởi m.n cách thực hiện. Quy tắc nhân có thể mở rộng đối với nhiều hành động liên tiếp. + Ví dụ áp dụng: Một nhóm học sinh gồm 8 nam và 10 nữ tham gia văn nghệ. Cô giáo cần chọn ra một đội gồm 2 nam và 2 nữ để biểu diễn một tiết mục múa. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chọn? Giải: Việc chọn 2 nam và 2 nữ là một công việc cần hoàn thành bởi 2 bước liên tiếp: + Chọn 2 học sinh nam: Có C28 = 28 (cách chọn). + Chọn 2 học sinh nữ: Có C210 = 45 (cách chọn) ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 28.45 = 1260 (cách chọn).

Bài 3 (trang 76 SGK Đại số 11):

Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử. Lời giải: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập hợp con k phần tử của một tập hợp n phần tử được sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Tổ hợp chập k của n phần tử là tập hợp con k phần tử của một tập hợp n phần tử không để ý đến thứ tự các phần tử của tập hợp con đó.

Bài 4 (trang 76 SGK Đại số 11):

Có bao nhiêu số chẵn có bốn số được tạo thành từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho: a) Các chữ số có thể giống nhau b) Các chữ số khác nhau Lời giải: a. Có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị 6 cách chọn chữ số hàng nghìn 7 cách chọn chữ số hàng trăm 7 cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 4.6.7.7 = 1176 (số) b. TH1: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị bằng 0 ⇒ Có 6 cách chọn chữ số hàng nghìn 5 cách chọn chữ số hàng trăm 4 cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Theo quy tắc nhân: có 6.5.4 = 120 (số) TH2: Chọn các số chẵn có chữ số hàng đơn vị khác 0. ⇒ Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (khác 0 và khác hàng đơn vị) Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm Có 4 cách chọn chữ số hàng chục ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.5.4 = 300 (số) ⇒ Theo quy tắc cộng: Có tất cả 120 + 300 = 420 số chẵn thỏa mãn.

Bài 5 (trang 76 SGK Đại số 11):

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi thành sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất cho: a. Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. b. Ba bạn nam ngồi bên cạnh nhau. Lời giải: Không gian mẫu là việc sắp xếp 6 bạn vào 6 ghế tùy ý ⇒ n(Ω) = P6 = 6! = 720. a. Gọi A: “ Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau” + Chọn chỗ ngồi cho 3 bạn nữ: Có 2 cách (Vị trí 1,3,5 hoặc 2,4,6). + Sắp xếp 3 bạn nữ vào 3 chỗ: Có 3! = 6 cách + Sắp xếp 3 bạn nam vào 3 chỗ còn lại: Có 3! = 6 cách ⇒ Theo quy tắc nhân: n(A) = 2.6.6 = 72 (cách). ⇒ n(A) = 2.3!.3! = 72 b. B: “Ban bạn nam ngồi cạnh nhau” + Chọn 3 chỗ ngồi cạnh nhau cho 3 bạn nam: Có 4 cách. + Sắp xếp 3 bạn nam vào 3 chỗ: Có 3! = 6 cách. + Sắp xếp 3 bạn nữ vào 3 chỗ còn lại: Có 3! = 6 cách ⇒ Theo quy tắc nhân: n(B) = 4.6.6 = 144 (cách) Xác suất để ba bạn nam ngồi cạnh nhau là:

Bài 6 (trang 76 SGK Đại số 11):

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả, tính xác suất sao cho: a. Bốn quả lấy ra cùng màu; b. Có ít nhất một quả màu trắng. Lời giải: Không gian mẫu là kết quả việc chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu. a. A: “ Bốn quả lấy ra cùng màu” TH1: Bốn quả lấy ra cùng đen TH2: Bốn quả lấy ra cùng trắng b. B: “ Cả 4 quả lấy ra đều màu đen” ⇒ B−: “ Có ít nhất 1 quả màu trắng”.

Bài 7 (trang 77 SGK Đại số 11):

Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần Lời giải: Không gian mẫu là kết quả của việc gieo 3 lần súc sắc ⇒ n(Ω) = 6.6.6 = 216. A: “ Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần” ⇒ A−: “ Không xuất hiện mặt 6 chấm”

Bài 8 (trang 77 SGK Đại số 11): 

Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vào sáu cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là: a. Cạnh của lục giác. b. Đường chéo của lục giác. c. Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác. Lời giải: Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 2 thẻ trong số 6 thẻ. a. Gọi A: “ Hai điểm là đầu mút của cạnh của lục giác” ⇒ n(A) = 6 (Lục giác có 6 cạnh) b. Gọi B: “ Hai điểm là đầu mút của đường chéo” ⇒ B = A− (Vì một đoạn thẳng chỉ có thể là một cạnh hoặc một đường chéo) ⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 – 0,4 = 0,6 c. Gọi C: “ Hai điểm là đầu mút của đường chéo nối hai đỉnh đối diện” ⇒ n(C) = 3

Bài 9 (trang 77 SGK Đại số 11): 

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho: a. Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn. b. Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ. Lời giải: Không gian mẫu là kết quả của việc gieo đồng thời hai con xúc sắc. ⇒ Ω = {(i; j); 1 ≤ i, j ≤ 6}. ⇒ n(Ω) = 6.6 = 36. a) Gọi A: “Cả hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn” ⇒ A = {(2; 2); (2; 4); (2; 6); (4; 2); (4; 4); (4; 6); (6; 2); (6; 4); (6; 6)} ⇒ n(A) = 9. b) Gọi B: “Tích số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ” Vì tích hai số là lẻ chỉ khi cả hai thừa số đều lẻ nên : B = {(1; 1); (1; 3); (1; 5); (3; 1); (3; 3); (3; 5); (5; 1); (5; 3); (5; 5)} ⇒ n(B) = 9

Bài 10 (trang 77 SGK Đại số 11): 

Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là: A. 104 B. 1326 C. 450 D. 2652 Lời giải: Chọn đáp án B. Giải thích : Việc chọn 2 con bài từ cỗ bài 52 con là việc lấy ra tập hợp 2 phần tử từ tập hợp 52 phần tử và là tổ hợp chập 2 của 52 ⇒ Có:  cách chọn.

Bài 11 (trang 77 SGK Đại số 11): 

Năm người được xếp vào ngồi quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là: A. 50 B. 100 C. 120 D. 24 Lời giải: Chọn đáp án D Giải thích: Với 5 người A, B, C, D, E xếp hàng ngang (hay dọc) thì có 5! = 120 cách xếp. Nhưng với 5 hoán vị khác nhau theo hàng ngang là ABCDE, DEABC, CDEAB nhưng xếp quanh bàn tròn như hình vẽ chỉ là một cách xếp. Vậy số cách xếp 5 người ngồi quanh bàn tròn là: n = 5!/5= 4! = 24 (cách)

Bài 12 (trang 77 SGK Đại số 11):

Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm. Lời giải: Chọn đáp án B. Giải thích: Không gian mẫu có: 6 × 6 = 36 phần tử. Số trường hợp gieo hai con súc sắc không có con nào 6 chấm là: 5 × 5 = 25. Số trường hợp hai con súc sắc có ít nhất một con 6 là: 36 – 25 = 11. Xác suất để ít nhất một con súc sắc xuất hiện 6 chấm là: P(A) = 11/36 Chọn đáp án B.

Bài 13 (trang 77 SGK Đại số 11): 

Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là: Lời giải: Số cách lấy 2 quả cầu bất kì là:  Số cách lấy được 2 quả cầu trắng là:  Xác suất để lấy được hai quả cầu trắng là: Chọn đáp án A.

Bài 14 (trang 77 SGK Đại số 11): 

Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là: Lời giải: Không gian mẫu có 63 = 216 phần tử. Số trường hợp cả ba con súc sắc xuất hiện cùng số chấm là 6 trường hợp. Xác suất cần tìm là: 6/216 Chọn đáp án C.

Bài 15 (trang 78 SGK Đại số 11): 

Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là: Lời giải: Số trường hợp xảy ra có thể là: 24 = 16 Chỉ có duy nhất một trường hợp cả 4 lần đều xuất hiện sấp. Xác suất cần tính là: P(X) = 1/16 Chọn đáp án C.  

Các bài viết liên quan

Bài 3: Điện trường và cường độ điện trường-Đường sức điện

80 View

Bài 1: Điện tích Định luật Cu-lông

83 View

Bài 46 : Luyện tập : Anđehit - Xeton- Axit cacboxylic

82 View

Các bài viết được xem nhiều nhất

Theo dõi Captoc trên

Khoa học xã hội

Facebook Group

270.000 members

Khoa học tự nhiên

Facebook Group

96.000 members