Chi tiết thông tin

Ôn tập chương 1

56 View

Lý thuyết Tổng hợp chương Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

I. Các hàm số lượng giác:

1. Hàm số y = sin x - Xác định với mọi x ∈ Z và –1 ≤ sin x ≤ 1; - Là hàm số lẻ; - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. 2. Hàm số y = cos x - Xác định với mọi x ∈ Z và –1 ≤ cos x ≤ 1; - Là hàm số chẵn; - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. 3. Hàm số y = tan x - Tập xác định là: D = R{π/2 + kπ, k ∈ Z}. - Là hàm số lẻ; - Là hàm số tuần hoàn với chu kì π. 4. Hàm số y = cot x - Tập xác định là: D = R{kπ, k ∈ Z}; - Là hàm số lẻ; - Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:

1. Phương trình sin x = a - Trường hợp |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm - Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (1) có các nghiệm là

2. Phương trình cos x = a - Trường hợp |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm - Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (2) có các nghiệm là: x = ± α + k2π, k ∈ Z. 3. Phương trình tan x = a - Điều kiện của phương trình là x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z. - Nghiệm của phương trình tan x = a là: x = arctan a + kπ, k ∈ Z. 4. Phương trình cot x = a - Điều kiện của phương trình là x ≠ kπ, k ∈ Z. - Nghiệm của phương trình cot x = a là: x = arccot a + kπ, k ∈ Z.

III. Phương trình bậc nhất đối sin x và cos x

Xét phương trình: asin x + bcos x = c với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a² + b² ≠ 0). - Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. - Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức: asin x + bcos x =

với

(a² + b² ≠ 0)

Bài 1 (trang 40 SGK Đại số 11):

a.Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không?Tại sao? b.Hàm số y = tan(x+ π/5) có phải là hàm số lẻ không?Tại sao? Lời giải: a. y = f(x) = cos3x là hàm số chẵn vì: + TXĐ: D = R ⇒ ∀ x ∈ D ta có: - x ∈ D + f(-x) = cos3.(-x) = cos(-3x) = cos 3x = f(x) ∀ x ∈ D b. Ta có:

⇒ g(x) không phải hàm số lẻ. Kiến thức áp dụng

+ Hàm f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện : Với ∀ x ∈ D thì –x ∈ D. f(-x) = f(x) với mọi x ∈ D. + Hàm g(x) được gọi là hàm số lẻ nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện : Với mọi x ∈ D thì –x ∈ D g(-x) = -g(x) với mọi x ∈ D.

Bài 2 (trang 40 SGK Đại số 11):

Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn[-3π/2 ; 2π] để hàm số đó: a. Nhận giá trị bằng – 1 b. Nhận giá trị âm Lời giải: Xét đồ thị hàm số y = sin x trên :

a. sin x = -1 ⇔

(Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = -1). b. sin x < 0 ⇔ x ∈ (-π; 0) ∪ (π; 2π) (Các khoảng mà đồ thị nằm phía dưới trục hoành).

Bài 3 (trang 41 SGK Đại số 11):

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

Lời giải:

Ta có: với mọi x ∈ R : -1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 2(1 + cos x) ≤ 4

y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được là 3 khi x = k.2π (k ∈ Z).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được là 1 khi

(k ∈ Z). Kiến thức áp dụng

+ Với mọi x ∈ R ta luôn có: -1 ≤ sin x ≤ 1; -1 ≤ cos x ≤ 1.

Bài 4 (trang 41 SGK Đại số 11):

Giải phương trình sau:

Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm {arcsin

– 1 + k2π; π - arcsin

– 1 + k2π} (k ∈ Z)

Vậy phương trình có họ nghiệm

(k ∈ Z) * Lưu ý: Về cách gộp, tách, loại họ nghiệm xem lại phần kiến thức áp dụng bài 5 trang 29. Không nhất thiết phải gộp các họ nghiệm lại. c. Điều kiện:

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có tập nghiệm

d. Điều kiện:

Vậy phương trình có tập nghiệm

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình sin x = sin α có nghiệm

+ Phương trình cos x = cos α có nghiệm x = ±α + k.2π (k ∈ Z). + Phương trình tan x = tan α có nghiệm x = α + k.π, (k ∈ Z) + Phương trình cot x = cot α có nghiệm x = α + k.π, (k ∈ Z). + Với các phương trình chứa tan và cot phải có điều kiện xác định.

Bài 5 (trang 41 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau: a. 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 b. 25sin²x + 15sin2x + 9cos²x = 25 c. 2sinx + cosx = 1 d. sinx + 1,5cotx = 0 Lời giải: a. 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn cos x).

Vậy phương trình có tập nghiệm

b. 25sin²x + 15sin2x + 9cos²x = 25 ⇔ 25sin²x + 15.2sinx.cosx + 9cos²x – 25 = 0 ⇔ 25.(sin²x – 1) + 15.2.sinx.cosx + 9cos²x = 0 ⇔ -25.cos²x + 30sinx.cosx + 9cos²x = 0 ⇔ 16.cos²x – 30.sinx.cosx = 0 ⇔ 2.cosx.(8cosx – 15sinx) = 0

+ Giải (1): 2.cos x = 0 ⇔ cos x = 0

+ Giải (2): 8.cos x – 15.sin x = 0 ⇔ 8.cos x = 15.sin x.

Vậy phương trình có tập nghiệm

c. 2.sin x + cos x = 1

Vì

nên tồn tại α thỏa mãn

(1) trở thành:

Vậy phương trình có nghiệm {k2π; 2α+k2π/k ∈ Z } với α thỏa mãn

Phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sin và cos. Phương pháp giải: Xem lại kiến thức áp dụng bài 5 trang 37. d. Điều kiện x ≠ kπ ∀ k ∈ Z

Vậy phương trình có tập nghiệm

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình sin x = sin α có nghiệm

+ Phương trình cos x = cos α có nghiệm x = ±α + k.2π (k ∈ Z). + Phương trình tan x = tan α có nghiệm x = α + k.π, (k ∈ Z) + Phương trình cot x = cot α có nghiệm x = α + k.π, (k ∈ Z). + sin 2x = 2.sin x. cos x

Bài 6 (trang 41 SGK Đại số 11):

Phương trình cos x = sin x có số nghiệm thuộc đoạn [-π; π] là: A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải: Chọn đáp án A. Giải thích: sin x = cos x ⇒ tan x = 1

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc [-π; π]

Bài 7 (trang 41 SGK Đại số 11):

Phương trình ...

Lời giải: Chọn đáp án A. Giải thích:

(1) ⇔ cos4x = sin 2x ⇔ 1 – 2sin²2x = sin2x

Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc khoảng

Kiến thức áp dụng

cos2a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a = cos²a – sin²a.

Bài 8 (trang 41 SGK Đại số 11):

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x + sin 2x = cos x + 2 cos²x là:

Lời giải: Chọn đáp án C. Giải thích : Cách 1: sin x + sin2x = cosx + 2cos²x ⇔ sin x + 2sinx.cosx = cosx(1 + 2cosx) ⇔ sinx (1 + 2cosx) = cosx.(1 + 2cosx) ⇔ (sin x – cos x)(1 + 2.cos x) = 0

Cách 2: Thử các đáp án nhận thấy chỉ có

và

là nghiệm của phương trình.

nên chọn

Bài 9 (trang 41 SGK Đại số 11):

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan²x + 5 tanx + 3 = 0 là:

Lời giải: Chọn đáp án B. Giải thích : Ta có: 2tan²x + 5 tan x + 3 = 0

Bài 10 (trang 41 SGK Đại số 11):

Phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng(-π/2 ; π) là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Chọn đáp án C. Giải thích. 2tanx – 2cotx – 3 = 0 (1)