Ôn tập chương 1

Lý thuyết Tổng hợp chương Hàm số lượng giác - phương trình lượng giác

I. Các hàm số lượng giác:

1. Hàm số y = sin x - Xác định với mọi x ∈ Z và –1 ≤ sin x ≤ 1; - Là hàm số lẻ; - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. 2. Hàm số y = cos x - Xác định với mọi x ∈ Z và –1 ≤ cos x ≤ 1; - Là hàm số chẵn; - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. 3. Hàm số y = tan x - Tập xác định là: D = R{π/2 + kπ, k ∈ Z}. - Là hàm số lẻ; - Là hàm số tuần hoàn với chu kì π. 4. Hàm số y = cot x - Tập xác định là: D = R{kπ, k ∈ Z}; - Là hàm số lẻ; - Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.

II. Các phương trình lượng giác cơ bản:

1. Phương trình sin x = a - Trường hợp |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm - Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (1) có các nghiệm là 2. Phương trình cos x = a - Trường hợp |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm - Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (2) có các nghiệm là: x = ± α + k2π, k ∈ Z. 3. Phương trình tan x = a - Điều kiện của phương trình là x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z. - Nghiệm của phương trình tan x = a là: x = arctan a + kπ, k ∈ Z. 4. Phương trình cot x = a - Điều kiện của phương trình là x ≠ kπ, k ∈ Z. - Nghiệm của phương trình cot x = a là: x = arccot a + kπ, k ∈ Z.

III. Phương trình bậc nhất đối sin x và cos x

Xét phương trình: asin x + bcos x = c với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a2 + b2 ≠ 0). - Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. - Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức: asin x + bcos x =  với  (a2 + b2 ≠ 0)

Bài 1 (trang 40 SGK Đại số 11):

a.Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không?Tại sao? b.Hàm số y = tan(x+ π/5) có phải là hàm số lẻ không?Tại sao? Lời giải: a. y = f(x) = cos3x là hàm số chẵn vì: + TXĐ: D = R ⇒ ∀ x ∈ D ta có: - x ∈ D + f(-x) = cos3.(-x) = cos(-3x) = cos 3x = f(x) ∀ x ∈ D b. Ta có: ⇒ g(x) không phải hàm số lẻ. Kiến thức áp dụng
+ Hàm f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện : Với ∀ x ∈ D thì –x ∈ D. f(-x) = f(x) với mọi x ∈ D. + Hàm g(x) được gọi là hàm số lẻ nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện : Với mọi x ∈ D thì –x ∈ D g(-x) = -g(x) với mọi x ∈ D.

Bài 2 (trang 40 SGK Đại số 11):

Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn[-3π/2 ; 2π] để hàm số đó: a. Nhận giá trị bằng – 1 b. Nhận giá trị âm Lời giải: Xét đồ thị hàm số y = sin x trên  : a. sin x = -1 ⇔  (Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = -1). b. sin x < 0 ⇔ x ∈ (-π; 0) ∪ (π; 2π) (Các khoảng mà đồ thị nằm phía dưới trục hoành).

Bài 3 (trang 41 SGK Đại số 11):

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: Lời giải: Ta có: với mọi x ∈ R : -1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 2(1 + cos x) ≤ 4 y = 3 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được là 3 khi x = k.2π (k ∈ Z). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được là 1 khi  (k ∈ Z). Kiến thức áp dụng
+ Với mọi x ∈ R ta luôn có: -1 ≤ sin x ≤ 1; -1 ≤ cos x ≤ 1.

Bài 4 (trang 41 SGK Đại số 11): 

Giải phương trình sau: Lời giải: Vậy phương trình có tập nghiệm {arcsin – 1 + k2π; π - arcsin – 1 + k2π} (k ∈ Z)   Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z) * Lưu ý: Về cách gộp, tách, loại họ nghiệm xem lại phần kiến thức áp dụng bài 5 trang 29. Không nhất thiết phải gộp các họ nghiệm lại. c. Điều kiện:  (k ∈ Z). Vậy phương trình có tập nghiệm    d. Điều kiện: Vậy phương trình có tập nghiệm  Kiến thức áp dụng
+ Phương trình sin x = sin α có nghiệm  + Phương trình cos x = cos α có nghiệm x = ±α + k.2π (k ∈ Z). + Phương trình tan x = tan α có nghiệm x = α + k.π, (k ∈ Z) + Phương trình cot x = cot α có nghiệm x = α + k.π, (k ∈ Z). + Với các phương trình chứa tan và cot phải có điều kiện xác định.

Bài 5 (trang 41 SGK Đại số 11): 

Giải các phương trình sau: a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 b. 25sin2x + 15sin2x + 9cos2x = 25 c. 2sinx + cosx = 1 d. sinx + 1,5cotx = 0 Lời giải: a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn cos x). Vậy phương trình có tập nghiệm  b. 25sin2x + 15sin2x + 9cos2x = 25 ⇔ 25sin2x + 15.2sinx.cosx + 9cos2x – 25 = 0 ⇔ 25.(sin2x – 1) + 15.2.sinx.cosx + 9cos2x = 0 ⇔ -25.cos2x + 30sinx.cosx + 9cos2x = 0 ⇔ 16.cos2x – 30.sinx.cosx = 0 ⇔ 2.cosx.(8cosx – 15sinx) = 0 + Giải (1): 2.cos x = 0 ⇔ cos x = 0 + Giải (2): 8.cos x – 15.sin x = 0 ⇔ 8.cos x = 15.sin x. Vậy phương trình có tập nghiệm  c. 2.sin x + cos x = 1 Vì  nên tồn tại α thỏa mãn  (1) trở thành: Vậy phương trình có nghiệm {k2π; 2α+k2π/k ∈ Z } với α thỏa mãn  Phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sin và cos. Phương pháp giải: Xem lại kiến thức áp dụng bài 5 trang 37. d. Điều kiện x ≠ kπ ∀ k ∈ Z Vậy phương trình có tập nghiệm  Kiến thức áp dụng
+ Phương trình sin x = sin α có nghiệm  + Phương trình cos x = cos α có nghiệm x = ±α + k.2π (k ∈ Z). + Phương trình tan x = tan α có nghiệm x = α + k.π, (k ∈ Z) + Phương trình cot x = cot α có nghiệm x = α + k.π, (k ∈ Z). + sin 2x = 2.sin x. cos x

Bài 6 (trang 41 SGK Đại số 11): 

Phương trình cos x = sin x có số nghiệm thuộc đoạn [-π; π] là: A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải: Chọn đáp án A. Giải thích: sin x = cos x ⇒ tan x = 1 Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc [-π; π]

Bài 7 (trang 41 SGK Đại số 11): 

Phương trình ... Lời giải: Chọn đáp án A. Giải thích: (1) ⇔ cos4x = sin 2x ⇔ 1 – 2sin22x = sin2x Suy ra, phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc khoảng  Kiến thức áp dụng
cos2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a = cos2a – sin2a.

Bài 8 (trang 41 SGK Đại số 11): 

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin x + sin 2x = cos x + 2 cos2x là: Lời giải: Chọn đáp án C. Giải thích : Cách 1: sin x + sin2x = cosx + 2cos2x ⇔ sin x + 2sinx.cosx = cosx(1 + 2cosx) ⇔ sinx (1 + 2cosx) = cosx.(1 + 2cosx) ⇔ (sin x – cos x)(1 + 2.cos x) = 0 Cách 2: Thử các đáp án nhận thấy chỉ có  và  là nghiệm của phương trình.  nên chọn 

Bài 9 (trang 41 SGK Đại số 11):

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan2x + 5 tanx + 3 = 0 là: Lời giải: Chọn đáp án B. Giải thích : Ta có: 2tan2x + 5 tan x + 3 = 0

Bài 10 (trang 41 SGK Đại số 11): 

Phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng(-π/2 ; π) là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Chọn đáp án C. Giải thích. 2tanx – 2cotx – 3 = 0 (1) Có ba nghiệm thuộc  là {arctan2; arctan ; arctan + π}  
 

Các bài viết liên quan

Bài 3: Điện trường và cường độ điện trường-Đường sức điện

45 View

Bài 1: Điện tích Định luật Cu-lông

47 View

Bài 46 : Luyện tập : Anđehit - Xeton- Axit cacboxylic

42 View

Các bài viết được xem nhiều nhất

Theo dõi Captoc trên

Khoa học xã hội

Facebook Group

270.000 members

Khoa học tự nhiên

Facebook Group

96.000 members