Câu hỏi ôn tập chương 1

Lý thuyết Tổng hợp chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

PHÉP BIẾN HÌNH

+ Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. + Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. + Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H, hay hình H là ảnh của hình (H) qua phép biến hình F. + Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

PHÉP TỊNH TIẾN

1. Định nghĩa Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho  = được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ  Phép tịnh tiến theo vectơ thường được lí hiệu là ,  được gọi là vectơ tịnh tiến. Như vậy (M) = M’ ⇔  =  Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất. 2. Tính chất Tính chất 1. Nếu (M) = M’, (N) = N’ thì =  và từ đó suy ra M’N = MN. Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính. 3. Biểu thức toạ độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ = (a; b). Với mỗi điểm M(x; y) ta có M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo . Khi đó Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Định nghĩa Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d. Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ_d Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d. Nhận xét Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M₀ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M’ = Đ_d(M) ⇔  M’ = Đ_d(M) ⇔ M = Đ_d(M’) 2. Biểu thức toạ độ Nếu d ≡ Ox. Gọi M’(x’; y’) = Đ_Ox[M(x,y)] thì Nếu d ≡ Oy. Gọi M’(x’; y’) = Đ_Oy[M(x,y)] thì 3. Tính chất Tính chất 1 Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2 Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

    

4. Trục đối xứng của một hình Định nghĩa Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1. Định nghĩa Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I. Điểm I được gọi là tâm đối xứng. Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I. Nếu hình H là ảnh của hình H qua Đ_I thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua tâm I, hay H và H’ đối xứng với nhau qua I. Từ đinh nghĩa suy ra M = Đ_I(M) ⇔→  2. Biểu thức toạ độ Với O(0;0), ta có M(x’; y’) = Đ_O[M(x;y)] thì Với I(a; b), ta có M(x’; y’) = Đ_I(x’; y’) thì 3. Tính chất Tính chất 1 Nếu Đ_I(M) = M’ và Đ_I(N) = N thì , từ đó suy ra M’N’ = MN. Tính chất 2 Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

4. Tâm đối xứng của một hình Định nghĩa Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.

PHÉP QUAY

1. Định nghĩa Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; ON’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α. - Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó. - Phép quay tâm O góc α thường được kí hiệu là Q_{(O, α)} 2. Tính chất Tính chất 1 Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2 Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BĂNG NHAU

1. Định nghĩa Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nhận xét Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình. Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình. 2. Tính chất Phép dời hình: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm; Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng bằng nó; Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó; Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 3. Khái niệm hai hình bằng nhau Định nghĩa Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

PHÉP VỊ TỰ

1. Định nghĩa Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho  được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V_(O;k). Nhận xét Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. Khi k = 1, phép vị tự là đồng nhất. Khi k = –1, phép vị tự là phép đối xứng tâm. M’ = V_{(O; k)}(M) ⇔ M = V_{(O; 1/k)}(M’) 2. Tính chất Tính chất 1 Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì  và M’N’ = |k|.MN. Tính chất 2 Phép vị tự tỉ số k: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy; Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó; Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.

PHÉP ĐỒNG DẠNG

1. Định nghĩa Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = k.MN. Nhận xét Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|. 2. Tính chất Phép đồng dạng tỉ số k: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy; Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng; Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó; Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR. 3. Hình đồng dạng Định nghĩa Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Bài 1 (trang 33 SGK Hình học 11): 

Thế nào là một phép biến hình, phép dời hình, phép đồng dạng? Nêu mối liên hệ giữa phép dời hình và phép đồng dạng. Lời giải: + Phép biến hình trong mặt phẳng là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng xác định được duy nhất M’ trong mặt phẳng đó. + Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoẳng cách giữa hai điểm bất kì. + Phép đồng dạng tỉ số k là phép biến hình biến hai điểm M, N bất kì thành M’; N’ sao cho M’N’ = k.MN. + Phép dời hình chính là phép đồng dạng với tỉ số k = 1.

Bài 2 (trang 33 SGK Hình học 11):

a. Hãy kể tên các phép dời hình đã học. b. Phép đồng dạng có phải là phép vị tự không? Lời giải: a. Các phép dời hình đã học là: Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay. b. Phép đồng dạng không phải phép vị tự. Phép vị tự là một phép đồng dạng. Phép đồng dạng còn bao gồm các phép dời hình.

Bài 3 (trang 33 SGK Hình học 11): 

Hãy nêu một số tính chất đúng đối với phép dời hình mà không đúng với phép đồng dạng. Lời giải: - Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Phép đồng dạng không bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. - Phép dời hình biến đường tròn thành đường tròn có bán kính không đổi. Phép đồng dạng tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k.R. - Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó. Phép đồng dạng biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó.

Bài 4 (trang 34 SGK Hình học 11): 

Thế nào là hai hình bằng nhau, hai hình đồng dạng với nhau? Cho ví dụ. Lời giải: + Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Ví dụ: ΔABC sau khi thực hiện phép quay tâm C, góc 90º rồi lấy đối xứng qua d được ΔA₁B₁C₁. ⇒ ΔABC = ΔA₁B₁C₁ + Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia. Ví dụ: ΔABC sau khi thực hiện liên tiếp phép quay tâm C góc 90º; đối xứng qua đường thẳng d và phép vị tự tâm B tỉ số 1,5 được ΔA₁B₁C₁

Bài 5 (trang 34 SGK Hình học 11): 

Cho hai điểm phân biệt A, B và đường thẳng d. Hãy tìm một phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự. a. Biến A thành chính nó; b. Biến A thành B; c. Biến d thành chính nó. Lời giải: a. Các phép biến một điểm A thành chính nó: Phép đồng nhất: - Phép tịnh tiến theo vectơ 0 . - Phép quay tâm A, góc φ = 0º. - Phép đối xứng tâm A. - Phép vị tự tâm A, tỉ số k = 1. - Ngoài ra còn có: - Phép đối xứng trục mà trục đi qua A. b. Các phép biến hình biến điểm A thành điểm B: - Phép tịnh tiến theo vectơ AB . - Phép đối xứng qua đường trung trực của đoạn thẳng AB. - Phép đối xứng tâm qua trung điểm của AB. - Phép quay mà tâm nằm trên đường trung trực của AB. - Phép vị tự mà tâm là điểm chia trong hoặc chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số k. c. Phép tịnh tiến theo vectơ v //d. - Phép đối xứng trục là đường thẳng d’ ⊥ d. - Phép đối xứng tâm là điểm A ∈ d. - Phép quay tâm là điểm A ∈ d, góc quay φ =180º. - Phép vị tự tâm là điểm I ∈ d.

Bài 6 (trang 34 SGK Hình học 11): 

Nêu cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn. Lời giải: Gọi hai đường tròn là (I₁: R₁) và (I₂; R₂). + TH1: I₁ ≡ I₂; khi đó tâm vị tự O ≡ I₁ ≡ I₂; tỉ số vị tự  biến đường tròn (I₁; R₁) thành đường tròn (I₂; R₂). + TH2: I₁ ≠ I₂. Vẽ bán kính I₁M bất kì. Dựng đường kính AB của (I₂; R₂) sao cho AB // I₁M. MA; MB lần lượt cắt I₁I₂ tại O₁ và O₂. Khi đó O₁ và O₂ chính là hai tâm vị tự của hai đường tròn.  

Các bài viết liên quan

Các bài viết được xem nhiều nhất