Chi tiết thông tin

Bài 4: Cấp số nhân

75 View

Lý thuyết Cấp số nhân

I. ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u_n+1 = u_nq với n ∈ N^* Đặc biệt: + Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0,…, 0,… + Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁,…, u₁,… + Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0,…, 0…

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1 Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức u_n = u₁.q^n-1 với n ≥ 2

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Định lí 2 Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u_k² = u_k-1.u_k+1 với k ≥ 2

IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Định lí 3 Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + … + u_n. Khi đó

Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁,…, u₁,… khi đó S_n = nu₁.

Trả lời câu hỏi trang 98:

Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng. Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.

Lời giải: Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu: 1; 2; 4; 8; 16; 32

Trả lời câu hỏi trang 99:

Hãy đọc hoạt động 1 và cho biết ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc? Lời giải: Số hạt thóc ở ô thứ 11 là:

hạt thóc.

Trả lời câu hỏi trang 101:

Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = -2 và q = -1/2 a) Viết năm số hạng đầu của nó b) So sánh u₂² với tích u₁.u₃ và u₃² với tích u₂.u₄ Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên Lời giải:

Trả lời câu hỏi trang 102:

Tính tổng

Lời giải: Ta có:

lập thành cấp số nhân có:u₁ = 1, q = 1/3

Bài 1 (trang 103 SGK Đại số 11):

Chứng minh các dãy số

là các cấp số nhân. Lời giải:

⇒ (u_n) là cấp số nhân với công bội q = 2.

⇒ (u_n) là cấp số nhân với công bội

⇒ (u_n) là cấp số nhân với công bội

Kiến thức áp dụng

+ Một dãy (u_n) thỏa mãn u_n + 1 = u_n.q với mọi n ∈ N* là một cấp số nhân với công bội q. + Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân, ta chỉ cần chứng minh

là một hằng số với mọi n ∈ N*.

Bài 2 (trang 103 SGK Đại số 11):

Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q a.Biết u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q b.Biết q = 2/3 , u4 = 8/21 . Tìm u₁ c.Biết u₁ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy? Lời giải: a. Ta có: u₆ = u₁.q⁵ hay 486 = 2.q⁵ ⇒ q⁵ = 243 ⇒ q = 3. b. u₄ = u₁.q³

c. u_n = u₁.q^{n - 1} hay 192 = 3.(-2)^{n - 1} ⇒ (-2)^{n - 1} = 64 ⇒ (-2)^{n - 1} = (-2)⁶ ⇒ n – 1 = 6 ⇒ n = 7. Vậy u₇ = 192. Kiến thức áp dụng

+ Cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu tiên u₁ ; công bội q thì u_n = u₁.q^{n – 1}.

Bài 3 (trang 103 SGK Đại số 11):

Tìm các số hạng của cấp số nhân (u_n) có năm số hạng, biết: a.u₃ = 3 và u₅ = 27 b.u₄ – u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50 Lời giải: Giả sử CSN (u_n) có công bội q. a. Ta có: u₃ = u₁.q² ; u₅ = u₁.q⁵. Theo đề bài, ta có hệ phương trình :

+ Với q = 3 ta có cấp số nhân :

; 1 ; 3 ; 9 ; 27. + Với q = -3 ta có cấp số nhân :

; -1 ; 3 ; -9 ; 27.

Vậy 5 số hạng là:

Kiến thức áp dụng

Cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu tiên u1 và công bội q thì số hạng thứ n : u_n = u₁.q^{n – 1}

Bài 4 (trang 104 SGK Đại số 11):

Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62. Lời giải: Gọi cấp số nhân (u_n) cần tìm có công bội q, số hạng đầu tiên u₁.

Vậy CSN (u_n) là: 1; 2; 4; 8; 16; 32. Kiến thức áp dụng

Cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu tiên u₁ và công bội q thì số hạng thứ n :

Bài 5 (trang 104 SGK Đại số 11):

Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng dân số của tỉnh hiện nay là 1, 8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì dân số của tỉnh đó tăng bao nhiêu? Lời giải: Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

Theo tỷ lệ tăng dân số 1,4% thì dân số hàng năm của tỉnh x là các số hạng của cấp số nhân với công bội q = 1,014 Và số hạng đầu u₁ = 1,8 triệu Theo công thức: u_n = u₁.q^{n – 1} ⇒ Dân số của tỉnh x sau 5 năm sau là: u₆ = 1,8.(1,014)⁵ ≈ 1.93 triệu (người) ⇒ Dân số sau 10 năm là: u₁₁ = 1,8.(1,014)¹⁰ ≈ 2.07 triệu (người). Kiến thức áp dụng

Cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu tiên u1 và công bội q thì số hạng thứ n : u_n = u₁.q^{n – 1}

Bài 6 (trang 104 SGK Đại số 11):

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₁ (hình bên). Từ hình vuông C₂ lại tiếp tục như trên để được hình vuông C₃… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, …,C_n

Gọi a_n là độ dài cạnh của hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là một cấp số nhân. Lời giải: Cạnh của hình vuông C₁ là: a₁= 4 (giả thiết) Giả sử cạnh hình vuông thứ n là a_n. Theo định lý Py-ta-go : Cạnh hình vuông thứ n + 1 là :