Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác: - Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at + b = 0, trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. - Ví dụ: 2sin x + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sin x,… 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác - Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at2 + bt + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. - Ví dụ: 3tan2 x 2tan x 1 = 0 là phương trình bậc hai đối với tan x 3. Phương trình bậc nhất đối với sin x  cos x - Công thức biến đổi biểu thức asin x + bcos x : asin x + bcos x =         (1) với  (a2 + b2 ≠ 0) - Xét phương trình: asin x + bcos x = c        (2) với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a2 + b2 ≠ 0). + Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. + Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác: - Cách giải: + Bước 1: Chuyển vế + Bước 2: Chia hai vế của phương trình đã cho cho a + Bước 3: Giải phương trình lượng cơ bản. - Ví dụ: Giải phương trình: 2sin x – √3 = 0 Ta có: 2sin x – √3 = 0 ⇔ 2sin x = √3 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: - Cách giải: + Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) + Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này + Bước 3: Ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. - Ví dụ: Giải phương trình: 3cos2x – 2cos x – 1 = 0 Đặt cos x = t với điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 (*) Khi đó phương trình đã cho có dạng: 3t2 – 2t – 1 = 0 (**) Giải phương trình (**) ta được hai nghiệm t1 = 1 và t2 = -1/3 thoả mãn điều kiện (*) Vậy ta có: TH1: cos x = 1 ⇔ x = k2π    (k ∈ Z). TH2: cos x = -1/3 ⇔ x = ±arccos (-1/3) + k2π    (k ∈ Z)

Trả lời câu hỏi trang 29:

Giải các phương trình trong ví dụ 1. a) 2sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx. b) √3 tanx + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đố với tanx. Lời giải: a)2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2 , vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1 b)√3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = (-√3)/3 ⇔ x = (-π)/6 + kπ, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi  trang 31:

Giải các phương trình sau: a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0; b) 3tan2x - 2√3 tanx + 3 = 0. Lời giải: a)3cos2x - 5 cos⁡ x + 2 = 0 Đặt cos⁡ x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t: 3t2 - 5t + 2 = 0(1) Δ = (-5)2 - 4.3.2 = 1 Phương trình (1)có hai nghiệm là:  Ta có: cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0 ⇔ x = k2π, k ∈ Z cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z b) 3tan2 x - 2√3 tan⁡x + 3 = 0 Đặt tan⁡x = t ta được phương trình bậc hai theo t: 3t2 - 2√3 t + 3 = 0(1) Δ = (-2√3)2 - 4.3.3 = -24 < 0 Vậy Phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài

Trả lời câu hỏi  trang 32:

Hãy nhắc lại: a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản; b) Công thức cộng; c) Công thức nhân đôi; d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích. Lời giải: a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: sin2α + cos2α = 1 1 + tan2α = 1/(cos2α); α ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z 1 + cot2α = 1/(sin2α); α ≠ kπ, k ∈ Z tan⁡α.cot⁡α = 1; α ≠ kπ/2, k ∈ Z b) Công thức cộng: cos⁡(a - b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b - sin⁡a sin⁡b sin⁡(a - b) = sin⁡a cos⁡b - cos⁡a sin⁡b sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb c) Công thức nhân đôi: sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α cos⁡2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α d) Công thức biến đổi tích thành tổng: cos⁡ a cos⁡b = 1/2 [cos⁡(a - b) + cos⁡(a + b) ] sin⁡a sin⁡b = 1/2 [cos⁡(a - b) - cos⁡(a + b) ] sin⁡a cos⁡b = 1/2 [sin⁡(a - b) + sin⁡(a + b) ] Công thức biến đổi tổng thành tích:

Trả lời câu hỏi trang 34:

Giải phương trình 3cos2 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0. Lời giải: 3cos2 6x + 8sin⁡3x cos⁡3x - 4 = 0 ⇔3(1-sin26x)+ 4sin⁡6x - 4 = 0 ⇔-3sin26x + 4sin⁡6x - 1 = 0 Đặt sin⁡6x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t: -3t2 + 4t - 1 = 0(1) Δ = 42 - 4.(-1).(-3) = 4 Phương trình (1)có hai nghiệm là:  (thỏa mãn (*) Ta có:

Trả lời câu hỏi trang 35:

Dựa vào các công thức cộng đã học: sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa; sin(a – b) = sina cosb - sinb cosa; cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb; cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb; và kết quả cos π/4 = sinπ/4 = √2/2, hãy chứng minh rằng: a) sinx + cosx = √2 cos(x - π/4); b) sin x – cosx = √2 sin(x - π/4). Lời giải: a) √2 cos(x - π/4) = √2.(cosx.cos π/4 + sinx.sin π/4) = √2.(√2/2.cosx + √2/2.sinx) = √2.√2/2.cosx + √2.√2/2.sinx = cosx + sinx (đpcm) b) √2.sin(x - π/4) = √2.(sinx.cos π/4 - sin π/4.cosx ) = √2.(√2/2.sinx - √2/2.cosx ) = √2.√2/2.sinx - √2.√2/2.cosx = sinx – cosx (đpcm).

Trả lời câu hỏi trang 36:

Giải phương trình √3 sin3x – cos3x = √2. Lời giải:

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số 11):

Giải phương trình: sin2x – sin x = 0 Lời giải: Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z). Kiến thức áp dụng
+ Phương trình sin x = sin α có họ nghiệm  (k ∈ Z). Đặc biệt: sin x = 0 ⇔ x = k.π (k ∈ Z). sin x = 1 ⇔  (k ∈ Z).

Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau: a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0 b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0. Lời giải: a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1) đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 (1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0  (thỏa mãn điều kiện). + t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z) Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z). Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z) Kiến thức áp dụng
+ sin2a = 2.sina.cosa.

Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau: Lời giải:    (Phương trình bậc hai với ẩn  ). Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z) b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1) ⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0 ⇔ 8sin2x - 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x) Vậy phương trình có tập nghiệm { + k2π;  + k2π; arcsin + k2π; π - arcsin + k2π (k ∈ Z). c. Điều kiện:  2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).  (Thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan + kπ} (k ∈ Z) d. Điều kiện  tanx – 2.cotx + 1 = 0  (Thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình có tập nghiệm { + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z) Kiến thức áp dụng
+ sin2α = 1 - cos2α với mọi α ∈ R. +  với mọi α thỏa mãn điều kiện xác định.

Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau: a. 2sin2 x + sinx.cosx – 3cos2 x = 0 b. 3sin2 x – 4 sinx.cosx + 5 cos2 x =2 c. sin2 x + sin2x - 2 cos2 x = 1/2 d. 2cos2x - 3√3sin2x - 4sin2x = -4 Lời giải: a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1) + Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1 Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại) + Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được: Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z) b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2 ⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x) ⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1) + Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1. Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý). + Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z) + Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1 (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý). + Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được: Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)   Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z) Kiến thức áp dụng
Phương trình a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = 0 được gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos. Phương pháp giải: + Xét cos x = 0. + Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta thu được phương trình bậc 2 với ẩn tan x rồi giải phương trình.

Bài 5 (trang 37 SGK Đại số 11): 

Giải các phương trình sau: Lời giải: Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z) Ta có:  nên tồn tại α thỏa mãn  (1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1 Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z) với α thỏa mãn  Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z) Vì  nên tồn tại α thỏa mãn  (*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1 Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z) với α thỏa mãn  Kiến thức áp dụng
+ Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng: a.sin x + b.cos x = c (a ≠ 0; b ≠ 0) + Cách giải: Chia cả hai vế cho  ta được: Vì  nên tồn tại α thỏa mãn  Khi đó phương trình trở thành:  (Phương trình quen thuộc). + sin (a ± b) = sina.sinb ± cos a.cos b cos (a ± b) = cos a. cos b ∓ sin a. sin b.

Bài 6 (trang 37 SGK Đại số 11): 

Giải các phương trình sau: a. tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1 b. tanx + tan (x+π/4) = 1 Lời giải: a. Điều kiện:  Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z). b. Điều kiện: ⇔ tan x.(1 - tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x. ⇔ tan x - tan2x + 2.tan x = 0 ⇔ tan2x - 3tanx = 0 ⇔ tanx(tanx - 3) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: {arctan 3+kπ; k ∈ Z } Kiến thức áp dụng
 với mọi α làm cho biểu thức có nghĩa. +   
 

Các bài viết liên quan

Bài 3: Điện trường và cường độ điện trường-Đường sức điện

32 View

Bài 1: Điện tích Định luật Cu-lông

23 View

Bài 46 : Luyện tập : Anđehit - Xeton- Axit cacboxylic

24 View

Các bài viết được xem nhiều nhất

Theo dõi Captoc trên

Khoa học xã hội

Facebook Group

270.000 members

Khoa học tự nhiên

Facebook Group

96.000 members