Chi tiết thông tin

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

77 View

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác: - Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at + b = 0, trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. - Ví dụ: 2sin x + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sin x,… 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác - Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at² + bt + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác. - Ví dụ: 3tan² x 2tan x 1 = 0 là phương trình bậc hai đối với tan x 3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x - Công thức biến đổi biểu thức asin x + bcos x : asin x + bcos x =

(1) với

(a² + b² ≠ 0) - Xét phương trình: asin x + bcos x = c (2) với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a² + b² ≠ 0). + Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về phương trình lượng giác cơ bản. + Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác: - Cách giải: + Bước 1: Chuyển vế + Bước 2: Chia hai vế của phương trình đã cho cho a + Bước 3: Giải phương trình lượng cơ bản. - Ví dụ: Giải phương trình: 2sin x – √3 = 0 Ta có: 2sin x – √3 = 0 ⇔ 2sin x = √3

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: - Cách giải: + Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) + Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này + Bước 3: Ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản. - Ví dụ: Giải phương trình: 3cos²x – 2cos x – 1 = 0 Đặt cos x = t với điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 (*) Khi đó phương trình đã cho có dạng: 3t² – 2t – 1 = 0 (**) Giải phương trình (**) ta được hai nghiệm t₁ = 1 và t₂ = -1/3 thoả mãn điều kiện (*) Vậy ta có: TH1: cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z). TH2: cos x = -1/3 ⇔ x = ±arccos (-1/3) + k2π (k ∈ Z)

Trả lời câu hỏi trang 29:

Giải các phương trình trong ví dụ 1. a) 2sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx. b) √3 tanx + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đố với tanx. Lời giải: a)2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2 , vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1 b)√3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = (-√3)/3 ⇔ x = (-π)/6 + kπ, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi trang 31:

Giải các phương trình sau: a) 3cos²x – 5cosx + 2 = 0; b) 3tan²x - 2√3 tanx + 3 = 0. Lời giải: a)3cos²x - 5 cos⁡ x + 2 = 0 Đặt cos⁡ x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t: 3t² - 5t + 2 = 0(1) Δ = (-5)² - 4.3.2 = 1 Phương trình (1)có hai nghiệm là:

Ta có: cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0 ⇔ x = k2π, k ∈ Z cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z b) 3tan² x - 2√3 tan⁡x + 3 = 0 Đặt tan⁡x = t ta được phương trình bậc hai theo t: 3t² - 2√3 t + 3 = 0(1) Δ = (-2√3)² - 4.3.3 = -24 < 0 Vậy Phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài

Trả lời câu hỏi trang 32:

Hãy nhắc lại: a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản; b) Công thức cộng; c) Công thức nhân đôi; d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích. Lời giải: a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: sin²α + cos²α = 1 1 + tan²α = 1/(cos²α); α ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z 1 + cot²α = 1/(sin²α); α ≠ kπ, k ∈ Z tan⁡α.cot⁡α = 1; α ≠ kπ/2, k ∈ Z b) Công thức cộng: cos⁡(a - b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b - sin⁡a sin⁡b sin⁡(a - b) = sin⁡a cos⁡b - cos⁡a sin⁡b sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

c) Công thức nhân đôi: sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α cos⁡2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

d) Công thức biến đổi tích thành tổng: cos⁡ a cos⁡b = 1/2 [cos⁡(a - b) + cos⁡(a + b) ] sin⁡a sin⁡b = 1/2 [cos⁡(a - b) - cos⁡(a + b) ] sin⁡a cos⁡b = 1/2 [sin⁡(a - b) + sin⁡(a + b) ] Công thức biến đổi tổng thành tích:

Trả lời câu hỏi trang 34:

Giải phương trình 3cos² 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0. Lời giải: 3cos² 6x + 8sin⁡3x cos⁡3x - 4 = 0 ⇔3(1-sin²6x)+ 4sin⁡6x - 4 = 0 ⇔-3sin²6x + 4sin⁡6x - 1 = 0 Đặt sin⁡6x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t: -3t² + 4t - 1 = 0(1) Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4 Phương trình (1)có hai nghiệm là:

(thỏa mãn (*) Ta có:

Trả lời câu hỏi trang 35:

Dựa vào các công thức cộng đã học: sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa; sin(a – b) = sina cosb - sinb cosa; cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb; cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb; và kết quả cos π/4 = sinπ/4 = √2/2, hãy chứng minh rằng: a) sinx + cosx = √2 cos(x - π/4); b) sin x – cosx = √2 sin(x - π/4). Lời giải: a) √2 cos(x - π/4) = √2.(cosx.cos π/4 + sinx.sin π/4) = √2.(√2/2.cosx + √2/2.sinx) = √2.√2/2.cosx + √2.√2/2.sinx = cosx + sinx (đpcm) b) √2.sin(x - π/4) = √2.(sinx.cos π/4 - sin π/4.cosx ) = √2.(√2/2.sinx - √2/2.cosx ) = √2.√2/2.sinx - √2.√2/2.cosx = sinx – cosx (đpcm).

Trả lời câu hỏi trang 36:

Giải phương trình √3 sin3x – cos3x = √2. Lời giải:

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số 11):

Giải phương trình: sin²x – sin x = 0 Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z). Kiến thức áp dụng

+ Phương trình sin x = sin α có họ nghiệm

(k ∈ Z). Đặc biệt: sin x = 0 ⇔ x = k.π (k ∈ Z). sin x = 1 ⇔

(k ∈ Z).

Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau: a) 2cos²x – 3cos x + 1 = 0 b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0. Lời giải: a. 2cos²x – 3cosx + 1 = 0 (1) đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1 (1) trở thành 2t² – 3t + 1 = 0

(thỏa mãn điều kiện). + t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z).

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z) Kiến thức áp dụng

+ sin2a = 2.sina.cosa.

Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau:

Lời giải:

(Phương trình bậc hai với ẩn

).

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z) b. 8cos²x + 2sinx – 7 = 0 (1) ⇔ 8(1 – sin²x) + 2sinx – 7 = 0 ⇔ 8sin²x - 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Vậy phương trình có tập nghiệm {

+ k2π;

+ k2π; arcsin

+ k2π; π - arcsin

+ k2π (k ∈ Z). c. Điều kiện:

2tan²x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

(Thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có tập nghiệm {

+ kπ; arctan

+ kπ} (k ∈ Z) d. Điều kiện

tanx – 2.cotx + 1 = 0

(Thỏa mãn điều kiện). Vậy phương trình có tập nghiệm {

+ kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z) Kiến thức áp dụng

+ sin²α = 1 - cos²α với mọi α ∈ R. +

với mọi α thỏa mãn điều kiện xác định.

Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau: a. 2sin² x + sinx.cosx – 3cos² x = 0 b. 3sin² x – 4 sinx.cosx + 5 cos² x =2 c. sin² x + sin2x - 2 cos² x = 1/2 d. 2cos²x - 3√3sin2x - 4sin²x = -4 Lời giải: a) 2sin²x + sinx.cosx – 3cos²x = 0 (1) + Xét cos x = 0 ⇒ sin²x = 1 – cos²x = 1 Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại) + Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos²x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z) b) 3sin²x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2 ⇔ 3sin²x – 4sinx.cosx + 5cos²x = 2(sin²x + cos²x) ⇔ sin²x – 4sinx.cosx + 3 cos²x = 0 (1) + Xét cosx = 0 ⇒ sin²x = 1. Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý). + Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos²x ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin²x = 1 – cos²x = 1 (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý). + Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos²x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z)

Vậy phương trình có tập nghiệm

(k ∈ Z) Kiến thức áp dụng

Phương trình a.sin²x + b.sinx.cosx + c.cos²x = 0 được gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos. Phương pháp giải: + Xét cos x = 0. + Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta thu được phương trình bậc 2 với ẩn tan x rồi giải phương trình.