Chi tiết thông tin

Bài 3: Hàm số liên tục

44 View

Lý thuyết Hàm số liên tục

I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa 2 Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)

Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1 a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R. b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Định lí 2 Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó: a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀; b) Hàm số

liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0. Định lí 3 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.. Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

Trả lời câu hỏi trang 135:

Cho hai hàm số f(x) = x² và có

đồ thị như hình 55

a) Tính giá trị của mỗi hàm số tại x = 1 và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi x → 1; b) Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x = 1. Lời giải:

b) + Đồ thị của hàm số y = f(x) là đường liền nét tại điểm có hoành độ x= 1. + Đồ thị hàm số y = g(x) là đường không liền nét tại điểm có hoành độ x= 1.

Trả lời câu hỏi trang 138:

Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số 5 bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực R ? Lời giải: Cần thay số 5 bởi số 2 để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực R Trả lời câu hỏi trang 138: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] với f(a) và f(b) trái dấu nhau. Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng (a; b) không? ⦁ Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng (a; b)”. ⦁ Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số y = f(x) phải cắt trục hoành Ox ít nhất tại một điểm nằm khoảng (a; b)”. ⦁ Bạn Tuấn thì cho rằng: “Đồ thị của hàm số y = f(x) có thể không cắt trục hoành trong khoảng (a; b), chẳng hạn như đường parabol ở hình (h.58). Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?

Lời giải: - Bạn Lan nói đúng vì f(a) và f(b) trái dấu nên tồn tại ít nhất 1 giá trị x sao cho f(x) = 0, do đó đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm - Bạn Hưng sai vì có thể có 2 giá trị x sao cho f(x) = 0 - Đường parabol trên hình 58 là đồ thị hàm số y² = x ⇒ đồ thị hàm số y = f(x) sẽ là 1 nửa nằm trên hoặc 1 nửa nằm dưới trục hoành Khi đó f(a) và f(b) cùng dấu, mâu thuẫn với điều kiện f(a) và f(b) trái dấu Ví dụ của Tuấn sai

Trả lời câu hỏi trang 139:

Hãy tìm hai số a và b thỏa mãn 1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b). Lời giải: Ta có:

y = f(x) là hàm số đa thức liên tục trên R. Do đó f(x)liên tục trên

Từ đó suy ra,

Bài 1 (trang 140 SGK Đại số 11):

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x³+2x-1 tại x₀=3. Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu

phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x_o ∈ (0;2)

Bài 1 (trang 140 SGK Đại số 11):

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x³+2x-1 tại x₀=3. Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu

Bài 2 (trang 141 SGK Đại số 11):

a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x₀ = 2, biết :

b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x₀=2. Lời giải: a) Ta có: g(2) = 5.

⇒ g(x) không liên tục tại x = 2. b) Để g(x) liên tục tại x = 2

Vậy để hàm số liên tục tại x = 2 thì cần thay 5 bằng 12. Kiến thức áp dụng

+ Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu

Bài 3 (trang 141 SGK Đại số 11):

Cho hàm số

a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh. Lời giải: a) Đồ thị hàm số (hình bên).

Quan sát đồ thị nhận thấy : + f(x) liên tục trên các khoảng (-∞ ; -1) và (-1 ; ∞). + f(x) không liên tục tại x = -1.

⇒ không tồn tại giới hạn của f(x) tại x = -1. ⇒ Hàm số không liên tục tại x = -1. Kiến thức áp dụng

+ Hàm số f(x) liên tục tại x₀ nếu

Bài 4 (trang 141 SGK Đại số 11):

Cho các hàm số

và g(x) = tan(x) + sin(x) Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục. Lời giải:

Giải bài 4 trang 141 sgk Đại Số 11 | Để học tốt Toán 11

Kiến thức áp dụng

+ Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Bài 5 (trang 141 SGK Đại số 11):

Ý kiến sau đúng hay sai? "Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀ và hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x₀". Lời giải: Ý kiến trên đúng. Vì giả sử ngược lại hàm số y = h(x) = f(x) + g(x) là hàm số liên tục tại x₀. Khi đó, hàm số g(x) = h(x) – f(x) là hiệu của hai hàm số liên tục tại x₀ nên hàm số g(x) là hàm số liên tục x₀ ( định lí về hàm số liên tục) => Mâu thuẫn với giả thiết là hàm số g(x) không liên tục tại x₀. Kiến thức áp dụng

Hai hàm số f(x) và h(x) liên tục tại x₀ thì các hàm số f(x) ± h(x) ; f(x).h(x) cũng liên tục tại x₀.

Bài 6 (trang 141 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng phương trình: a. 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm. b. cos x = x có nghiệm Lời giải: a. Đặt f(x) = 2x³ – 6x + 1 TXĐ: D = R f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R. Ta có: f(-2) = 2.(-2)³ – 6(-2) + 1 = - 3 < 0 f(0) = 1 > 0 f(1) = 2.1³ – 6.1 + 1 = -3 < 0. ⇒ f(-2).f(0) < 0 và f(0).f(1) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2; 0) và ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; 1) ⇒ phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm. b. Xét hàm số g(x) = x – cos x liên tục trên R. do đó liên tục trên đoạn [-π; π] ta có: g(-π) = -π – cos (-π) = -π + 1 < 0 g(π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0 ⇒ g(-π). g(π) < 0 ⇒ phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (-π; π) tức là cos x = x có nghiệm. Kiến thức áp dụng

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất 1 điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.