Chi tiết thông tin

Bài 3 : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

102 View

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Định nghĩa

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Kí hiệu d ⊥ (α). 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định lí Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Hệ quả Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó. 3. Tính chất Tính chất 1 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Tính chất 2 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. Tính chất 1 Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 2 Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3 Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

5. Định lí ba đường vuông góc Định nghĩa Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc tới mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P). Định lí (Định lí 3 đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). 6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa

Nếu đường thẳng a ⊥ (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90°. Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). Chú ý: Nếu φ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0° ≤ φ ≤ 90°.

Trả lời câu hỏi trang 100:

Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng (α), người ta phải làm như thế nào? Lời giải Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với một mặt phẳng (α), người ta phải chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (α) Trả lời câu hỏi trang 100: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng d vuông góc với a và b. Khi đó đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a và b không ? Lời giải Không vì trái với định lí ( a // b thì a và b không cắt nhau)

Bài 1 (trang 104 SGK Hình học 11):

Cho mặt phẳng (α) và hai đường thẳng a, b. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? a) Nếu a // (α), b ⊥(α) thì a ⊥b. b) Nếu a // (α), b ⊥a thì b ⊥(α). c) Nếu a // (α), b // (α) thì b // a. d) Nếu a ⊥(α), b ⊥a thì b ⊥(α). Lời giải: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Giải thích: a) Dựa vào tính chất 3a). b) Ví dụ: a // (α); b ⊥ a nhưng b // (α).

c) Ví dụ: a // (α); b // (α) nhưng a ∩ b.

d) a ⊥ (α) và b ⊥ a thì b có thể nằm trong mp(α).

Bài 2 (trang 104 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI) b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD). Lời giải:

a) Tam giác ABC cân tại A có AI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: AI ⊥ BC +) Tương tự, tam giác BCD cân tại D có DI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DI ⊥ BC +) Ta có:

Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).

Bài 3 (trang 104 SGK Hình học 11):

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SB = SC = SD. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).

Bài 4 (trang 105 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB và OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :

Lời giải:

a) Ta có:

Do H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) nên: OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ BC (2) Mà OA; OH ⊂ (OAH); OA ∩ OH = O (3) Từ (1); (2) và (3) ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ AH Chứng minh tương tự ta có: AC ⊥ BH

⇒ H là trực tâm ΔABC. b) Gọi M = AH ∩ BC. + BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ OM. ΔOBC vuông tại O có đường cao OM

+ OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ OM ⇒ ΔOAM vuông tại O. OH ⊥ (ABC) ⇒ OH ⊥ AM.

Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).

+ Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác thì sẽ vuông góc với cạnh còn lại của tam giác đó.

Bài 5 (trang 105 SGK Hình học 11):

Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) sao cho SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) SO ⊥(α) b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH).

Lời giải:

a) + Do ABCD là hình bình hành có tâm O- giao điểm hai đường chéo => O là trung điểm AC và BD( tính chất hình bình hành) * Xét tam giác SAC có SA= SC nên tam giác SAC cân tại S Lại có SO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: SO ⊥ AC + Tương tự, tam giác SBD cân tại S có SO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao:

b) SO ⊥ (α) ⇒ SO ⊥ AB. Lại có: SH ⊥ AB; SO, SH ⊂ (SOH) và SO ∩ SH ⇒ AB ⊥ (SOH). Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).

Bài 6 (trang 105 SGK Hình học 11):

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI/SB = SK/SD . Chứng minh: a) BD ⊥ SC b) IK ⊥mp(SAC) Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).

+ Đường thẳng a ⊂ (α); b không nằm trong (α) và không vuông góc với (α). b’ là hình chiếu của b trên (α).

+ Một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Bài 7 (trang 105 SGK Hình học 11):

Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Trong mp(SAB), kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM/SB = SN/SC . Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB), AM ⊥ (SBC) b) SB ⊥ AN Lời giải:

Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (P).

Bài 8 (trang 105 SGK Hình học 11):

Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu trên (α) là điểm H. Với điểm M bất kì trên (α) và không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng: a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau; b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Lời giải:

Giả sử ta có hai đường xiên SM, SN và các hình chiếu HM, HN của chúng trên mp (α).

Vì SH ⊥ mp(α) ⇒ SH ⊥ HM và SH ⊥ HN ⇒ ΔSHN và ΔSHM vuông tại H. Áp dụng định lí Py-ta- go vào hai tam giác vuông này ta có: ⇒ SM² = SH² + HM²; và SN² = SH² + HN². a) SM = SN ⇔ SM² = SN² ⇔ HM² = HN² ⇔ HM = HN. b) SM > SN ⇔ SM² > SN² ⇔ HM² > HN² ⇔ HM > HN.