Chi tiết thông tin

Bài 3: Cấp số cộng

35 View

Lý thuyết Cấp số cộng

I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi u_n+1 = u_n + d với n ∈ N^* Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đỗi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Định lí 1 Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n – 1 )d với n ≥ 2

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

Định lí 2 Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Định lí 3 Cho cấp số cộng (u_n). Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ +…+ u_n. Khi đó

Chú ý: Vì u_n = u₁ + (n – 1)d nên công thức trên có thể viết lại là

Trả lời câu hỏi trang 93:

Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là -1, 3, 7, 11. Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó. Lời giải: Ta có

Quy luật: kể từ số thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4. Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó: 15; 19; 23; 27; 31 Trả lời câu hỏi trang 93: Cho (u_n) là một cấp số cộng có sáu số hạng với u₁ = (-1)/3, d = 3. Viết dạng khai triển của nó. Lời giải: Dạng khai triển của cấp số cộng đó là:

Trả lời câu hỏi trang 94:

Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện trên Hình 42.

Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp? Lời giải: Xây 1 tầng cần 2 que diêm để xếp tầng đế Xây 2 tầng cần 4 que diêm để xếp tầng đế (4 = 2 + 1.2) Xây 3 tầng cần 6 que diêm để xếp tầng đế ( 6 = 2 + 2.2) Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = 2 + 99.2)

Trả lời câu hỏi trang 96:

Cấp số cộng gồm tám số hạng -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau:

-1	3	7	11	15	19	23	27

a) Hãy chép lại bảng trên và viết các số hàn của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột. b) Tính tổng các số hạng của cấp số cộng. Lời giải: a)

-1	3	7	11	15	19	23	27
27	23	19	15	11	7	3	- 1

Nhận xét: Tổng của các số hạng ở mỗi cột bằng nhau và bằng 26 b) Tổng các số hạng của cấp số cộng là: 26.8/2 = 104

Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11):

Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.

Lời giải: a. Vì u_n = 5 – 2n nên u₁ = 5 – 2 = 3 Xét hiệu sau: u_n+1 – u_n = [5 – 2(n + 1)] – (5 - 2n) = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = -2 ⇒ u_n+1 = u_n – 2 Vậy (u_n) là cấp số cộng với công sai d = - 2

c. u_n = 3ⁿ ⇒ u₁ = 3 giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau: u_n+1 – u_n = 3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ = 3ⁿ . 3 – 3ⁿ = (3 - 1).3ⁿ = 2.3ⁿ và u_n – u_n-1 = 3ⁿ – 3^n-1 = 3.3^n-1 - 3^n-1 = (3- 1).3^n-1 = 2.3^n-1 ⇒ u_n+1 – u_n ≠ u_n – u_{n– 1} (vì 3ⁿ ≠ 3^n-1, ∀ n ) ⇒ (u_n) không phải là cấp số cộng.

Kiến thức áp dụng

+ Dãy (u_n) là cấp số cộng ⇔ u_{n + 1} - u_n = d với mọi n ∈ N (d là hằng số). + Hằng số d được gọi là công sai.

Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11):

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

Lời giải: a) Ta có : u₃ = u₁+ 2d ; u₅ = u₁ + 4d ; u₆ = u₁ + 5d Theo đề bài ta có :

b. Ta có: u₇ = u₁ + 6d ; u₃= u₁ + 2d ; u₂ = u₁+ d Do đó theo đề bài ta có:

Kiến thức áp dụng

Cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁; công sai d thì có số hạng thứ n : u_n = u₁ + (n – 1).d

Bài 3 (trang 97 SGK Đại số 11):

Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u₁, d, n, u_n, S_n. a.Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại? b.Lập bảng theo mẫu sau và điền vào số thích hợp vào ô trống:

Lời giải: a. Mối liên hệ giữa các công thức:

Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại. b. Ta có bảng:

Giải thích: + Với u₁ = -2; u_n = 55; n = 20

+ Với d = -4 ; n = 15 ; S_n = 120

+ Với u_n = 17; n = 12; S_n = 72

+ Với u₁ = 2; d = -5; S_n = -205.

⇒ u_n = u₁₀ = u₁ + 9d = -43. Kiến thức áp dụng

+ Cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁; công sai d thì :

Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11):

Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm. a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân. b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân. Lời giải: a. Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m. ⇒ n bậc thang cao 0,18.n (m) Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của bậc n so với mặt sân sẽ là: h_n = (0, 5 + 0,18n) (m) b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là: h₂₁ = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)

Bài 5 (trang 98 SGK Đại số 11):

Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu có chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng tiếng giờ? Lời giải: Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông. Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông ...... Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông. Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là: 1+ 2+ 3+ .... + 11+ 12 Đây là tổng 12 số hạng của cấp số cộng có số hạng đầu u₁= 1, công sai d = 1 Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là: