Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phương trình sin x = a (1) - Trường hợp |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm - Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (1) có các nghiệm là + Nếu số thực α thoả mãn điều kiện - Lưu ý: + Phương trình sin x = sin α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: x = α + k2π    k ∈ Z và x = π – α + k2π    k ∈ Z Tổng quát: sin f(x) = sin g(x) + sin x = sin β° + Các trường hợp đặc biệt: a = 1: Phương trình sin x = 1 có các nghiệm là: x = π/2 + k2π    k ∈ Z. a = –1: Phương trình sin x = –1 có các nghiệm là: x = -π/2 + k2π    k ∈ Z. a = 0: Phương trình sin x = 0 có các nghiệm là: x = x = kπ    k ∈ Z. 2. Phương trình cos x = a (2) - Trường hợp |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm - Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (2) có các nghiệm là x = ±α + k2π, k ∈ Z. + Nếu số thực α thoả mãn điều kiện: - Lưu ý: + Phương trình cos x = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: x = ±α + k2π, k ∈ Z. Tổng quát: cos f(x) = cos g(x) ⇔ f(x) = x = ±g(x) + k2π, k ∈ Z. + cos x = cos β° ⇔ x = ±β° + 360°, k ∈ Z. + Các trường hợp đặc biệt: a = 1: Phương trình cos x = 1 có các nghiệm là: x = k2π, k ∈ Z a = –1: Phương trình cos x = –1 có các nghiệm là: x = π + k2π, k ∈ Z a = 0: Phương trình cos x = 0 có các nghiệm là: x = π/2 + kπ, k ∈ Z. 3. Phương trình tan x = a (3) - Điều kiện của phương trình là x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z. - Nghiệm của phương trình tan x = a là: x = arctan α + kπ, k ∈ Z. - Lưu ý: + Phương trình tan x = tan α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: x = α + kπ, k ∈ Z. Tổng quát: tan f(x) = tan g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z. + tan x = tan β° ⇔ x = β° + k180°, k ∈ Z. 4. Phương trình cot x = a (4) - Điều kiện của phương trình là x ≠ kπ, k ∈ Z. - Nghiệm của phương trình cot x = a là: x = arccot α + kπ, k ∈ Z. - Lưu ý: + Phương trình cot x = cot α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là: x = α + kπ, k ∈ Z. Tổng quát: cot f(x) = cot g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z. + Phương trình cot x = cot β° có các nghiệm là x = β° + k180° , k ∈ Z.

Trả lời câu hỏi  trang 18:

Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0. Lời giải: 2sinx – 1 = 0 ⇒ sin x = 1/2 ⇒ một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0 là x = π/6

Trả lời câu hỏi  trang 19:

Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không? Lời giải: Không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2

Trả lời câu hỏi  trang 21:

Giải các phương trình sau: a) sinx = 1/3; b) sin(x + 45o) = - √2/2. Lời giải: a)sin⁡x = 1/3 khi x = arcsin 1/3. Vậy phương trình sin⁡x = 1/3 có các nghiệm là: x = arcsin 1/3 + k2π, k ∈ Z và x = π - arcsin 1/3 + k2π, k ∈ Z b)-√2/2 = sin⁡(-45o) nên sin⁡(x + 45o ) = (-√2)/2 ⇔ sin⁡(x+45o) = sin⁡(-45o) Khi đó,x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z ⇒ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z và x + 45o = 180o - (-45o ) + k360o, k ∈ Z ⇒ x = 180o - (-45o ) - 45o + k360o,k ∈ Z Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi  trang 23:

Giải các phương trình sau: a) cosx = (-1)/2; b) cosx = 2/3; c) cos(x + 30o) = √3/2. Lời giải: a)-1/2 = cos 2π/3 nên cos ⁡x = (-1)/2 ⇔ cos ⁡x = cos 2π/3 ⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z b)cos ⁡x = 2/3 ⇒ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z c)√3/2 = cos30o nên cos⁡(x + 30o )= √3/2 ⇔ cos⁡(x + 30o ) = cos 30o ⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z ⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi  trang 24:

Giải các phương trình sau: a) tanx = 1; b) tanx = -1; c) tanx = 0. Lời giải: a)tan⁡ x = 1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ π/4 ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z b)tan⁡ x = -1 ⇔ tan⁡ x = tan⁡ (-π)/4 ⇔ x =(-π)/4 + kπ, k ∈ Z c)tan⁡ x = 0 ⇔ tan⁡ x = tan⁡0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

Trả lời câu hỏi  trang 26:

Giải các phương trình sau: a) cotx = 1; b) cotx = -1; c) cotx = 0. Lời giải: a)cot⁡ x = 1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ π/4 ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z b)cot⁡ x = -1 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ (-π)/4 ⇔ x = (-π)/4 + kπ,k ∈ Z c)cot⁡ x = 0 ⇔ cot⁡ x = cot⁡ π/2 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z

Bài 1 (trang 28 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau: Lời giải:   Kiến thức áp dụng
+ Phương trình sin x = sin α có các nghiệm  + Số thực α thỏa mãn  thì ta viết α = arcsin a. Khi đó phương trình sin x = a có nghiệm 

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số 11):

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau? Lời giải: Ta có: sin 3x = sin x Vậy với  thì sin x = sin 3x. Kiến thức áp dụng
+ Phương trình sin x = sin α có các nghiệm 

Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11):

Giải các phương trình sau: Lời giải: Vậy phương trình có họ nghiệm  b. cos 3x = cos 12º ⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z ⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z Vậy phương trình có họ nghiệm x = ±4º + k.120º (k ∈ Z) Vậy phương trình có hai họ nghiệm  Vậy phương trình có 4 họ nghiệm  Kiến thức áp dụng
+ Phương trình cos x = cos α có các nghiệm + Số thực α thỏa mãn  thì ta viết α = arccos a. Khi đó phương trình cos x = a có nghiệm x = ±α + k2π (k ∈ Z).

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số 11):

Giải phương trình  Lời giải: + Điều kiện: sin 2x ≠ 1. + Xét k lẻ. Đặt k = 2n + 1  ∀ n (TMDK). + Xét k chẵn. Đặt k = 2n  ∀ n (Không TMDK). Vậy phương trình có họ nghiệm  Kiến thức áp dụng
+ Phương trình cos x = cos α có các nghiệm x = ± α + k2π, k ∈ Z + Phương trình cos x = 0 có nghiệm 

Bài 5 (trang 29 SGK Đại số 11): 

Giải các phương trình sau: Lời giải: a. (Điều kiện : x – 15º ≠ 90º + k.180º với ∀ k ∈ Z) ⇔ x – 15º = 30º + k180º , k ∈ Z ⇔ x = 45º + k.180º, k ∈ Z Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k.180º (k ∈ Z). b. Điều kiện: 3x - 1 ≠ kπ ∀ k ∈ Z Mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có họ nghiệm  * Chú ý: Nếu các bạn sử dụng máy tính, kết quả cho được là  thay vì  Các bạn sử dụng kết quả nào cũng đúng vì  và  hơn kém nhau π = 1 chu kì của hàm tan. c. cos2x.tanx = 0 (Điều kiện xác định:  ). Vậy phương trình có hai họ nghiệm  (k ∈ Z). d. sin3x.cotx = 0 (Điều kiện xác định: x ≠ kπ ∀ k ∈ Z). Kết hợp với điều kiện ta được  Vậy phương trình có các họ nghiệm  Kiến thức áp dụng
+ Điều kiện xác định của hàm số y = tan x là  Điều kiện xác định của hàm số y = cot x là x ≠ k.π. + Phương trình sin x = 0 và tan x = 0 đều có họ nghiệm Phương trình cos x = 0 và cot x = 0 đều có họ nghiệm  + Để gộp hoặc tách hoặc loại các họ nghiệm, ta nên biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác. Ví dụ ở kết quả phần d, các nghiệm  được biểu diễn bởi các điểm từ A1 đến A8 trên đường tròn lượng giác như hình dưới.

Với điều kiện x ≠ k.π nên các điểm A1 và A4 bị loại.

Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A2; A3; A5; A6; A7; A8 và ta viết được dưới kết quả 

Bài 6 (trang 29 SGK Đại số 11):

Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(π/4 - x) và y = tan 2x bằng nhau? Lời giải: Kết hợp với điều kiện xác định suy ra  (k ∈ Z) Vậy với  (k ∈ Z) thì  Kiến thức áp dụng
+ Phương trình tan x = tan α có họ nghiệm x = α + k.π

Bài 7 (trang 29 SGK Đại số 11): 

Giải các phương trình sau: a. sin3x - cos5x = 0 ; b. tan3x.tanx = 1 Lời giải: a. sin3x - cos5x = 0 Vậy phương trình có hai họ nghiệm  (k ∈ Z). b. tan3x.tanx = 1 (Điều kiện:  ) Các nghiệm thuộc họ nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z). Kiến thức áp dụng
+ Với mọi α ∈ R ta có: + Phương trình sin x = sin α có họ nghiệm  + Phương trình tan x = tan α có họ nghiệm x = α + k.π (k ∈ Z).  

Các bài viết liên quan

Bài 3: Điện trường và cường độ điện trường-Đường sức điện

89 View

Bài 1: Điện tích Định luật Cu-lông

89 View

Bài 46 : Luyện tập : Anđehit - Xeton- Axit cacboxylic

94 View

Các bài viết được xem nhiều nhất

Theo dõi Captoc trên

Khoa học xã hội

Facebook Group

270.000 members

Khoa học tự nhiên

Facebook Group

96.000 members