Chi tiết thông tin

Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

42 View

Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hoán vị a) Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử. - Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. b) Số các hoán vị: - Kí hiệu P_n là số các hoán vị của n phần tử. - Định lý: P_n = n(n – 1)…2.1 = n! 2. Chỉnh hợp a) Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. b) Số các chỉnh hợp: - Kí hiệu: A_n^k là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n). - Định lý:

- Lưu ý: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy, ta có: P_n = A_nⁿ 3. Tổ hợp a) Định nghĩa: - Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n). - Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng. b) Số các tổ hợp: - Kí hiệu C_n^k là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n). - Định lý:

c) Tính chất của các số C_n^k - Tính chất 1: C_n^k = C_n^{n - k} (0 ≤ k ≤ n) - Tính chất 2:

Trả lời câu hỏi trang 47:

Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3. Lời giải: 123; 132; 213; 231; 312; 321 Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 49: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Lời giải: Số cách xếp 10 người thành 1 hàng dọc là: 10! (theo định lí)

Trả lời câu hỏi trang 49:

Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D. Liệt kê tất cả các vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho. Lời giải:

Trả lời câu hỏi trang 51:

Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3, chập 4 của 5 phần tử của A. Lời giải: Các tổ hợp chập 3 là: {1,2,3};{1,2,4};{1,2,5};{1,3,4};{1,3,5};{1,4,5};{2,3,4};{2,3,5};{2,4,5};{3,4,5} Các tổ hợp chập 4 là: {1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,3,4,5},{1,2,4,5},{2,3,4,5}

Trả lời câu hỏi trang 52:

Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đề gặp nhau đúng một lần? Lời giải: Số trận đấu sao cho hai đội bất kì trong 16 đội tham gia gặp nhau đúng một lần là: C²₁₆ = 120 trận

Bài 1 (trang 54 SGK Đại số 11):

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. Hỏi: a. Có tất cả bao nhiêu số? b. Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ? c. Có bao nhiêu số bé hơn 432.000? Lời giải: Đặt A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. n(A) = 6. a. Việc lập các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là việc sắp xếp thứ tự 6 chữ số của tập A. Mỗi số là một hoán vị của 6 phần tử đó ⇒ Có P₆ = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 số thỏa mãn Vậy có 720 số thỏa mãn đầu bài. b. Việc lập các số chẵn là việc chọn các số có tận cùng bằng 2, 4 hoặc 6. Gọi số cần lập là

+ Chọn f : Có 3 cách chọn (2 ; 4 hoặc 6) + Chọn e : Có 5 cách chọn (khác f). + Chọn d : Có 4 cách chọn (khác e và f). + Chọn c : Có 3 cách chọn (khác d, e và f). + Chọn b : Có 2 cách chọn (khác c, d, e và f). + Chọn a : Có 1 cách chọn (Chữ số còn lại). ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.5.4.3.2.1 = 360 (cách chọn). Vậy có 360 số chẵn, còn lại 720 – 360 = 360 số lẻ. c. Chọn một số nhỏ hơn 432.000 ta có hai cách chọn : Cách 1 : Chọn số có chữ số hàng trăm nghìn nhỏ hơn 4. + Chọn chữ số hàng trăm nghìn : Có 3 cách (1, 2 hoặc 3). + Sắp xếp 5 chữ số còn lại : Có P₅ = 120 cách. ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.120 = 360 số thỏa mãn. Cách 2 : Chọn số có chữ số hàng trăm nghìn bằng 4. Tiếp tục có 2 cách thực hiện. - Chọn chữ số hàng chục nghìn nhỏ hơn 3 : + Chọn chữ số hàng chục nghìn : Có 2 cách (Chọn 1 hoặc 2). + Sắp xếp 4 chữ số còn lại : Có P₄ = 24 cách. ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 2.24 = 48 số thỏa mãn. - Chọn chữ số hàng chục nghìn bằng 3, khi đó : + Chữ số hàng nghìn : Có 1 cách chọn (Phải bằng 1). + Sắp xếp 3 chữ số còn lại : Có P₃ = 6 cách chọn ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 1.6 = 6 số thỏa mãn. ⇒ Theo quy tắc cộng: Có 48 + 6 = 54 số thỏa mãn có chữ số hàng trăm nghìn bằng 4. ⇒ Có: 360 + 54 = 414 số nhỏ hơn 432 000. Kiến thức áp dụng

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoành thành bởi một trong hai hành động. + Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện + Hành động thứ hai có n cách thực hiện . ⇒ Có m + n cách thực hiện công việc. - Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. + Hành động thứ nhất có m cách thực hiện. + Hành động thứ hai có n cách thực hiện ⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc. - Hoán vị là kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A. Số hoán vị: P_n = n!.

Bài 2 (trang 54 SGK Đại số 11):

Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế kê thành một dãy? Lời giải: Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người vào mười ghế là một hoán vị của một tập hợp có 10 phần tử. Vậy có P₁₀ = 10! = 3.628.800 cách sắp xếp. Kiến thức áp dụng

- Một hoán vị của tập hợp n phần tử là kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A. Số hoán vị: P_n = n!.

Bài 3 (trang 54 SGK Đại số 11):

giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)? Lời giải: Việc cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho chính là việc chọn 3 bông hoa trong số 7 bông hoa rồi sắp xếp chúng vào các lọ. Vậy số cách chọn chính là

(cách). Kiến thức áp dụng

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp:

Bài 4 (trang 55 SGK Đại số 11):

Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau? Lời giải: Việc chọn 4 bóng đèn mắc nối tiếp chính là việc chọn lấy 4 bóng đèn khác nhau trong tập hợp 6 bóng đèn và sắp xếp chúng theo thứ tự và chính là chỉnh hợp chập 4 của 6. Vậy có

(cách). Kiến thức áp dụng

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Số các chỉnh hợp:

Bài 5 (trang 55 SGK Đại số 11):

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu: a. Các bông hoa khác nhau? b. Các bông hoa như nhau? Lời giải: a. Việc cắm 3 bông hoa vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa rồi sắp xếp chúng với các bông hoa tương ứng và chính là kết quả của chỉnh hợp chập 3 của 5. (Vì các bông hoa khác nhau nên mỗi cách sắp xếp cho ta 1 kết quả khác nhau). Vậy có:

(cách). b. Việc cắm 3 bông hoa giống nhau vào 3 lọ chính là việc chọn 3 lọ hoa khác nhau từ tập hợp 5 lọ hoa để cắm và chính là kết quả của tổ hợp chập 3 của 5. (Vì các bông hoa giống nhau nên sắp xếp các lọ theo cách nào cũng đều cho cùng một kết quả). Vậy có:

(cách). Kiến thức áp dụng

+ Chỉnh hợp chập k của n là kết quả của việc chọn k phần tử khác nhau trong tập hợp n phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự. + Tổ hợp chập k của n là kết quả của việc chọn k phần tử khác nhau trong tập hợp n phần tử (không có sự sắp xếp). + Số các chỉnh hợp:

+ Số các tổ hợp:

Bài 6 (trang 55 SGK Đại số 11):

Trong mặt phẳng, có 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho? Lời giải: Cứ chọn 3 điểm không thẳng hàng bất kì ta được một tam giác. Việc lập các tam giác chính là chọn 3 điểm trong tập hợp 6 điểm đã cho và chính là tổ hợp chập 3 của 6. Vậy có :

cách lập. Kiến thức áp dụng

+ Tổ hợp chập k của n là kết quả của việc chọn k phần tử khác nhau trong tập hợp n phần tử (không có sự sắp xếp). + Số các tổ hợp:

Bài 7 (trang 55 SGK Đại số 11):

Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó? Lời giải: Việc lập một hình chữ nhật được thực hiện bởi hai bước: + Chọn 2 đường thẳng trong số 4 đường thẳng. Có:

cách chọn. + Chọn 2 đường thẳng trong số 5 đường thẳng vuông góc Có:

cách chọn. ⇒ Theo quy tắc nhân: Có 10.6 = 60 (cách lập hình chữ nhật). Kiến thức áp dụng

+ Tổ hợp chập k của n là kết quả của việc chọn k phần tử khác nhau trong tập hợp n phần tử (không có sự sắp xếp). + Số các tổ hợp:

+ Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. - Hành động thứ nhất có m cách thực hiện. - Hành động thứ hai có n cách thực hiện ⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.