Bài 2: Dãy số

Lý thuyết Dãy số

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u: N* → R n → u(n). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1, u2, u3,…, un,…, trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là (un), và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…, un, trong đó u1 là số hạng đầu, un là số hạng cuối.

II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1. Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 1 Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi n ∈ N*. Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi n ∈ N*. Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (un) với un = (–3)n tức là dãy –3; 9; –27; 81,… không tăng cũng không giảm. 2. Dãy số bị chặn Định nghĩa 2 Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M, ∀ n ∈ N* Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m, ∀ n ∈ N* Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m ≤ un ≤ M, ∀ n ∈ N*

Trả lời câu hỏi trang 85:

Cho hàm số f(n) = 1/(2n-1), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5). Lời giải:

Trả lời câu hỏi  trang 86:

Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa Lời giải: - Hàm số cho bằng bảng Ví dụ:
x 0 1 2 3 4
y 1 3 5 7 9
- Hàm số cho bằng công thức: Ví dụ:  Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ; b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1. Lời giải: a)Năm số hạng đầu:  Số hạng tổng quát của dãy số:  b)Năm số hạng đầu: 1;4;7;10;13 Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1(n ∈ N)

Trả lời câu hỏi  trang 87:

Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi. Lời giải: Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55

Trả lời câu hỏi trang 89:

Cho các dãy số (un) và (vn) với un = 1 + 1/n; vn = 5n – 1. a) Tính u(n+1), v(n+1). b) Chứng minh u(n+1) < un và v(n+1) > vn, với mọi n ∈ N^*. Lời giải: a)u(n+1) = 1 + 1/(n+1); v(n+1) = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4 b) Ta có: ⇒ u(n+1) < un, ∀n ∈ N* v(n+1) - vn = (5n + 4) - (5n - 1) = 5 > 0 ⇒ v(n+1) > vn ,∀n ∈ N*

Trả lời câu hỏi  trang 90:

Chứng minh các bất đẳng thức  với mọi n ∈ N*. Lời giải:

Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức: Lời giải:

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Cho dãy số (un), biết u1 = - 1, un+ 1 = un + 3 với n ≥ 1. a. Viết năm số hạng đầu của dãy số; b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 Lời giải: a. u1 = - 1, un + 1 = un + 3 với n > 1 u1 = - 1; u2 = u1 + 3 = -1 + 3 = 2 u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5 u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8 u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11 b. Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 (1) + Khi n = 1 thì u1 = 3.1 - 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1. + Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là uk = 3k – 4. + Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: uk+1 = 3(k+1) - 4 Thật vậy,ta có : uk + 1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4. ⇒ (1) đúng với n = k + 1 Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Dãy số (un) cho bởi u1 = 3, un+1 = √(1+un2) , n > 1 a. Viết năm số hạng đầu của dãy số. b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp. Lời giải: a. Năm số hạng đầu của dãy số b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số: un =√(n+8) (1) Rõ ràng (1) đúng với n = 1 Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là uk = √(k+8) ⇒ (1) đúng với n = k + 1 ⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết: Lời giải: a. Với mọi n ∈ N ta có: ⇒ (un) là dãy số giảm. Với mọi n ∈ N có: ⇒ (un) là dãy số tăng. c. un = (-1)n.(2n + 1) Nhận xét: u1 < 0, u2 > 0, u3 < 0, u4 > 0, … ⇒ u1 < u2, u2 > u3, u3 < u4, … ⇒ dãy số (un) không tăng, không giảm. với n ∈ N*, n ≥ 1 Xét: ⇒ un + 1 – un < 0 ⇒ un + 1 < un Vậy (un) là dãy số giảm Kiến thức áp dụng
Dãy (un) được gọi là dãy số tăng nếu un + 1 > un với mọi n ∈ N*. Dãy (un) được gọi là dãy số giảm nếu un + 1 < un với mọi n ∈ N*.

Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Trong các dãy số (un) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? Lời giải: a. un = 2n2 – 1 + Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n2 ≥ 1 ⇒ un = 2n2 – 1 ≥ 2.12 – 1 = 1. ⇒ un ≥ 1 ⇒ dãy (un) bị chặn dưới ∀n ∈ N*. + (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn: un = 2n2 – 1 ≤ M ∀n ∈N*. Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn. b. Ta có :  ∀ n ≥ 1. ⇒ (un) bị chặn dưới  ∀ n ≥ 1. ⇒ (un) bị chặn trên. Vậy (un) là dãy bị chặn. + Ta có : 2n2 – 1 > 0 ∀ n ∈ N* ⇒  ∀ n ∈ N*. ⇒ (un) bị chặn dưới. + 2n2 – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1 ⇒  ∀ n ∈ N* ⇒ (un) bị chặn trên. Vậy (un) bị chặn. d. un = sin n + cos n. Vậy dãy số (un) bị chặn. Kiến thức áp dụng
Dãy (un) được gọi là dãy số tăng nếu un + 1 > un ∀ n ∈ N*. Dãy (un) được gọi là dãy số giảm nếu un + 1 < un ∀ n ∈ N*.  

Các bài viết liên quan

Bài 3: Điện trường và cường độ điện trường-Đường sức điện

73 View

Bài 1: Điện tích Định luật Cu-lông

74 View

Bài 46 : Luyện tập : Anđehit - Xeton- Axit cacboxylic

73 View

Các bài viết được xem nhiều nhất

Theo dõi Captoc trên

Khoa học xã hội

Facebook Group

270.000 members

Khoa học tự nhiên

Facebook Group

96.000 members