Bài 2: Dãy số

Lý thuyết Dãy số

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u: N^* → R n → u(n). Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u₁, u₂, u₃,…, u_n,…, trong đó u_n = u(n) hoặc viết tắt là (u_n), và gọi u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. 2. Định nghĩa dãy số hữu hạn Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈ N^* được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là u₁, u₂, u₃,…, u_n, trong đó u₁ là số hạng đầu, u_n là số hạng cuối.

II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát 2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả 3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là: a) Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu). b) Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1. Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 1 Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_n+1 > u_n với mọi n ∈ N^*. Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_n+1 < u_n với mọi n ∈ N^*. Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số (u_n) với u_n = (–3)ⁿ tức là dãy –3; 9; –27; 81,… không tăng cũng không giảm. 2. Dãy số bị chặn Định nghĩa 2 Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M, ∀ n ∈ N^* Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m, ∀ n ∈ N^* Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m ≤ u_n ≤ M, ∀ n ∈ N^*

Trả lời câu hỏi trang 85:

Cho hàm số f(n) = 1/(2n-1), n ∈ N*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5). Lời giải:

Trả lời câu hỏi  trang 86:

Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa Lời giải: - Hàm số cho bằng bảng Ví dụ:

x	0	1	2	3	4
y	1	3	5	7	9

- Hàm số cho bằng công thức: Ví dụ:  Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau: a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ; b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1. Lời giải: a)Năm số hạng đầu:  Số hạng tổng quát của dãy số:  b)Năm số hạng đầu: 1;4;7;10;13 Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1(n ∈ N)

Trả lời câu hỏi  trang 87:

Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi. Lời giải: Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55

Trả lời câu hỏi trang 89:

Cho các dãy số (u_n) và (v_n) với u_n = 1 + 1/n; v_n = 5n – 1. a) Tính u_(n+1), v_(n+1). b) Chứng minh u_(n+1) < u_n và v_(n+1) > v_n, với mọi n ∈ N^*. Lời giải: a)u_(n+1) = 1 + 1/(n+1); v_(n+1) = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4 b) Ta có: ⇒ u_(n+1) < u_n, ∀n ∈ N* v_(n+1) - v_n = (5n + 4) - (5n - 1) = 5 > 0 ⇒ v_(n+1) > v_n ,∀n ∈ N*

Trả lời câu hỏi  trang 90:

Chứng minh các bất đẳng thức  với mọi n ∈ N*. Lời giải:

Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức: Lời giải:

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Cho dãy số (u_n), biết u₁ = - 1, u_{n+ 1} = u_n + 3 với n ≥ 1. a. Viết năm số hạng đầu của dãy số; b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4 Lời giải: a. u₁ = - 1, u_{n + 1} = u_n + 3 với n > 1 u₁ = - 1; u₂ = u₁ + 3 = -1 + 3 = 2 u₃ = u₂ + 3 = 2 + 3 = 5 u₄ = u₃ + 3 = 5 + 3 = 8 u₅ = u₄ + 3 = 8 + 3 = 11 b. Chứng minh phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4 (1) + Khi n = 1 thì u₁ = 3.1 - 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1. + Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là u_k = 3k – 4. + Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: u_k+1 = 3(k+1) - 4 Thật vậy,ta có : u_{k + 1} = u_k + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4. ⇒ (1) đúng với n = k + 1 Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Dãy số (u_n) cho bởi u₁ = 3, u_n+1 = √(1+u_n²) , n > 1 a. Viết năm số hạng đầu của dãy số. b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp. Lời giải: a. Năm số hạng đầu của dãy số b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số: u_n =√(n+8) (1) Rõ ràng (1) đúng với n = 1 Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là u_k = √(k+8) ⇒ (1) đúng với n = k + 1 ⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11): 

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết: Lời giải: a. Với mọi n ∈ N ta có: ⇒ (u_n) là dãy số giảm. Với mọi n ∈ N có: ⇒ (u_n) là dãy số tăng. c. u_n = (-1)ⁿ.(2ⁿ + 1) Nhận xét: u₁ < 0, u₂ > 0, u₃ < 0, u₄ > 0, … ⇒ u₁ < u₂, u₂ > u₃, u₃ < u₄, … ⇒ dãy số (u_n) không tăng, không giảm. với n ∈ N*, n ≥ 1 Xét: ⇒ u_{n + 1} – u_n < 0 ⇒ u_{n + 1} < u_n Vậy (u_n) là dãy số giảm Kiến thức áp dụng

Các bài viết liên quan

Các bài viết được xem nhiều nhất