Chi tiết thông tin

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

52 View

Lý thuyết Phương pháp quy nạp toán học

1. Để chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi n ∈ ℕ* bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành hai bước: ♦ Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. ♦ Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n=k+1. 2. Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là số tự nhiên) thì: ♦ Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. ♦ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. 3. Phép thử với một số hữu hạn số tự nhiên, tuy không phải là chứng minh, nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Kết quả này chỉ là giả thiết, và để chứng minh ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Trả lời câu hỏi trang 80:

Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3ⁿ < n + 100” và Q(n): "2ⁿ > n" với n ∈ N*. a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai? Lời giải: a) Xét P(n) : “3ⁿ < n + 100”: + Với n = 1, P(1) trở thành: “3¹ < 1 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3¹ = 3 < 1 + 100 = 101. + Với n = 2, P(2) trở thành: “3² < 2 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3² = 9 < 2 + 100. + Với n = 3, P(3) trở thành: “3³ < 3 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3³ = 27 < 3 + 100. + Với n = 4, P(4) trở thành: “3⁴ < 4 + 100”. Mệnh đề đúng vì 3⁴ = 81 < 4 + 100. + Với n = 5, P(5) trở thành: “3⁵ < 5 + 100”. Mệnh đề sai vì 3⁵ = 243 > 5 + 100. Xét Q(n): “2ⁿ > n”. + Với n = 1, Q(1) trở thành: “2¹ > 1”. Mệnh đề đúng vì 2¹ = 2 > 1. + Với n = 2, Q(2) trở thành: “2² > 2”. Mệnh đề đúng vì 2² = 4 > 2. + Với n = 3, Q(3) trở thành: “2³ > 3”. Mệnh đề đúng vì 2³ = 8 > 3. + Với n = 4, Q(4) trở thành: “2⁴ > 4”. Mệnh đề đúng vì 2⁴ = 16 > 4. + Với n = 5, Q(5) trở thành: “2⁵ > 5”. Mệnh đề đúng vì 2⁵ = 32 > 5. b) + Nhận thấy P(n) không đúng với mọi n ∈ N* (sai với n = 5). + Với mọi n ∈ N*, Q(n) luôn đúng.

Trả lời câu hỏi trang 81:

Chứng minh rằng với n ∈ N* thì

Lời giải: - Khi n = 1, VT = 1;

⇒ VT = VP , do đó đẳng thức đúng với n = 1. - Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Trả lời câu hỏi trang 82:

Cho hai số 3ⁿ và 8n với n ∈ N*. a) So sánh 3ⁿ và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5. b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp Lời giải: a)n = 1 ⇒ 3¹ = 3 < 8 = 8.1 n = 2 ⇒ 3² = 9 < 16 = 8.2 n = 3 ⇒ 3³ = 27 > 24 = 8.3 n = 4 ⇒ 3⁴ = 81 > 32 = 8.4 n = 5 ⇒ 3⁵ = 243 > 40 = 8.5 b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi n ≥ 3 - n = 3, bất đẳng thức đúng - Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là: 3^k > 8k Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là: 3^{(k + 1)} > 8(k + 1) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 3^{(k + 1)} = 3^k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8 Suy ra: 3^{(k + 1)} > 8k + 8 = 8(k + 1) Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

Lời giải: a. + Với n = 1, ta có: VT = 3 – 1 = 2

⇒ VT = VP ⇒ (1) đúng với n = 1 + Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là: 2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*) Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :

Thật vậy : Ta có :

b) + Với n = 1 :

Vậy (2) đúng với n = 1 + Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy, ta có :

c. + Với n = 1 :

⇒ (3) đúng với n = 1 + Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :

Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp: + Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không. + Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với n ∈ N* a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3. b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 c. n³ + 11n chia hết cho 6. Lời giải: a. Cách 1: Quy nạp Đặt A_n = n³ + 3n² + 5n + Ta có: với n = 1 A₁ = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3 + giả sử với n = k ≥ 1 ta có: A_k = (k³ + 3k² + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh A_{k + 1} chia hết 3 Thật vậy, ta có: A_{k + 1} = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5 = (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9 Theo giả thiết quy nạp: k³ + 3k² + 5k ⋮ 3 Mà 3k² + 9k + 9 = 3.(k² + 3k + 3) ⋮ 3 ⇒ A_{k + 1} ⋮ 3. Cách 2: Chứng minh trực tiếp. Có: n³ + 3n² + 5n = n.(n² + 3n + 5) = n.(n² + 3n + 2 + 3) = n.(n² + 3n + 2) + 3n = n.(n + 1)(n + 2) + 3n. Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) 3n ⋮ 3 ⇒ n³ + 3n² + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3. Vậy n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N* b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 Đặt A_n = 4ⁿ + 15n – 1 với n = 1 ⇒ A₁ = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9 + giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là: A_k = (4^k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp) Ta cần chứng minh: A_{k + 1} chia hết 9 Thật vậy, ta có: A_{k + 1} = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1 = 4.4^k + 15k + 15 – 1 = 4.(4^k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1 = 4.(4^k +15k- 1) – 45k + 18 = 4. A_k + (- 45k + 18) Ta có: A_k⋮ 9 và ( - 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9 Nên A_{k + 1} ⋮ 9 Vậy 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N* c. Cách 1: Chứng minh quy nạp. Đặt U_n = n³ + 11n + Với n = 1 ⇒ U₁ = 12 chia hết 6 + giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có: U_k = (k³ + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp) Ta cần chứng minh: U_{k + 1} = (k + 1)³ + 11(k + 1) chia hết 6 Thật vậy ta có: U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11 = (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12 = U_k + 3(k² + k + 4) Mà: U_k ⋮ 6 (giả thiết quy nạp) 3.(k² + k + 4) ⋮ 6. (Vì k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2) ⇒ U_{k + 1} ⋮ 6. Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*. Cách 2: Chứng minh trực tiếp. Có: n³ + 11n = n³ – n + 12n = n(n² – 1) + 12n = n(n – 1)(n + 1) + 12n. Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3 ⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6. Lại có: 12n ⋮ 6 ⇒ n³ + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6. Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp: + Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không. + Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức: a.3ⁿ > 3n + 1 b.2ⁿ⁺¹ > 2n + 3 Lời giải: a. Chứng minh: 3ⁿ > 3n + 1 (1) + Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng). + Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3^k > 3k + 1. Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3^{k+ 1} > 3(k+1) + 1 Thật vậy, ta có: 3^{k + 1} = 3.3^k > 3.(3k + 1) (Vì 3^k > 3k + 1 theo giả sử) = 9k + 3 = 3k + 3 + 6k = 3.(k + 1) + 6k > 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1) ⇒ (1) đúng với n = k + 1. Vậy 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2. b. 2^{n + 1} > 2n + 3 (2) + Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng). + Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2^k+1 > 2k + 3. Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2^k+2 > 2(k+ 1)+ 3 Thật vậy, ta có: 2^{k + 2} = 2.2^{k + 1} > 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4. > 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2) ⇒ (2) đúng với n = k + 1. Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi n ≥ 2. Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp: + Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không. + Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):

a.Tính S₁, S₂, S₃ b.Dự đoán công thức tính tổng Sⁿ và chứng minh bằng quy nạp. Lời giải:

b. Dự đoán:

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp + Với n = 1 thì (1) đúng. + Giả sử (1) đúng với n = k, tức là

Khi đó:

⇒ (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N* Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp: + Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không. + Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n-3)/2 Lời giải: Đa giác lồi n cạnh có n đỉnh. Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác. ⇒Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng: