Bài 1: Hàm số lượng giác

Lý thuyết Hàm số lượng giác

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Hàm số sin và hàm số cosin a) Hàm số sin - Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sin x sin: R → R x → y = sin x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx. - Tập xác định của hàm số sin là R. - Là hàm số lẻ. b) Hàm số côsin - Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực cos x cos: R → R x → y = cos x được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là: y = cos x. - Tập xác định của hàm số cosin là R. - Là hàm số chẵn. 2. Hàm số tang và hàm số cotang a) Hàm số tang - Định nghĩa: Hàm số tang là hàm số được xác định bới công thức:  (cos x ≠ 0) - Kí hiệu là y = tan x - Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R{π/2 + kπ, k ∈ Z}. - Là hàm số lẻ. b) Hàm số cotang - Định nghĩa: Hàm số cotang là hàm số được xác định bới công thức:  (sin x ≠ 0) - Kí hiệu là y = cot x - Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R{kπ, k ∈ Z}. - Là hàm số lẻ. 3. Tính tuần hoàn của hàm lượng giác - Các hàm số y = sin x và y = cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. - Các hàm số y = tan x và y = cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kì π. 4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác a) Hàm số y = sin x - Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π]: Hàm số y = sin x đồng biến trên [0; π/2] và nghịch biến trên [π/2; π] - Lưu ý: Vì y = sin x là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [–π; 0] - Đồ thị hàm số y = sin x trên R: Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [–π; π] theo các vecto v→ = (2π; 0) và –v→ = (–2π; 0) - Tập giá trị của hàm số y = sin x là [–1; 1] b) Hàm số y = cos x - Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ u→ = (-π/2; 0), ta được đồ thị của hàm số y = cos x. - Hàm số y = cos x đồng biến trên [–π; 0] và nghịch biến trên [0; π] - Tập giá trị của hàm số y = cos x là [–1; 1] c) Hàm số y = tan x - Hàm số y = tan x đồng biến trên [0; π/2 ) - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O => Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x trên [0; π/2 ), ta được đồ thị hàm số y = tan x trên (–π/2; 0] - Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (–π/2 ; π/2) songsong với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tan x trên D. Tập giá trị của hàm số y = tan x là khoảng (–∞; +∞) d) Hàm số y = cot x - Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0; π) - Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = cot x trên D. - Tập giá trị của hàm số y = cot x là khoảng (–∞; +∞)

Trả lời câu hỏi trang 4:

a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau: π/6; π/4; 1,5; 2; 3,1; 4,25; 5. b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung AM bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy π ≈ 3,14) Lời giải: a) sin π/6 = 1/2; cos π/6 = √3/2 sin π/4 = √2/2; cos π/4 = √2/2 sin⁡ 1,5 = 0,9975; cos⁡ 1,5 = 0,0707 sin⁡ 2 = 0,9093; cos⁡ 2 = -0,4161 sin⁡ 3,1 = 0,0416; cos⁡ 3,1 = -0,9991 sin⁡ 4,25 = -0,8950; cos⁡ 4,25 = -0,4461 sin⁡ 5 = -0,9589; cos⁡ 5 = 0,2837 b)   Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 6: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và cos(-x). Lời giải: sin⁡ x = -sin⁡(-x) cos⁡x = cos⁡(-x)

Trả lời câu hỏi trang 6:

Tìm những số T sao cho f(x + T) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số sau: a) f(x) = sinx; b) f(x) = tanx. Lời giải: a) T = k2π (k ∈ Z) b) T = kπ (k ∈ Z)

Bài 1 (trang 17 SGK Đại số 11):

Hãy xác định giá trị của x trên đoạn [- π ; 3π/2] để hàm số y = tan x: a. Nhận giá trị bằng 0 b. Nhận giá trị bằng 1 c. Nhận giá trị dương d. Nhận giá trị âm Lời giải: Quan sát đồ thị hàm số y = tan x trên đoạn [-π; 3π/2]. a. tan x = 0 tại các giá trị x = -π; 0; π. (Các điểm trục hoành cắt đồ thị hàm số y = tanx). b. tan x = 1 tại các giá trị x = -3π/4; π/4; 5π/4. c. tan x > 0 với x ∈ (-π; -π/2) ∪ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2). (Quan sát hình dưới) d. tan x < 0 khi x ∈ [-π/2; 0) ∪ [π/2; π) (Quan sát hình dưới). Kiến thức áp dụng
+ Hàm số y = tan x có chu kì π và có đồ thị:

Bài 2 (trang 17 SGK Đại số 11):

Tìm tập xác định của hàm số: Lời giải: a) Hàm số  xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k.π (k ∈ Z). Tập xác định của hàm số là D = R {kπ, k ∈ Z}. b) Hàm số  xác định Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k.2π. Vậy tập xác định của hàm số là D = R {k.2π, k ∈ Z}. c) Hàm số  xác định Vậy tập xác định của hàm số là  d) Hàm số  xác định Vậy tập xác định của hàm số là  Kiến thức áp dụng
+ Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0. + Hàm căn thức xác định khi biểu thức trong căn ≥ 0 + Hàm số y = tan x xác định ⇔ x ≠ π/2 + k.π (k ∈ Z) + Hàm số y = cot x xác định ⇔ x ≠ k.π (k ∈ Z).

Bài 3 (trang 17 SGK Đại số 11): 

Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = | sin x| Lời giải: + Đồ thị hàm số y = sin x. + Ta có: Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách: - Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0). - Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền hình phía dưới. Kiến thức áp dụng
+ Đồ thị hàm số y = sin x (SGK Đại số Giải tích 11 – trang 9). + Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |f(x)| bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Bài 4 (trang 17 SGK Đại số 11): 

Chứng minh rằng sin 2(x + kπ) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x Lời giải: + sin 2x (x + kπ) = sin (2x + k2π) = sin 2x, (k ∈ Z) (Do hàm số y = sin x có chu kì 2π). ⇒ Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π. + Hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì π và là hàm số lẻ. Bảng biến thiên hàm số y = sin 2x trên [-π/2; π/2] Đồ thị: Đồ thị hàm số y = sin 2x. Kiến thức áp dụng
+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì a nếu f(x + a) = f(x) với mọi x ∈ R.

Bài 5 (trang 18 SGK Đại số 11): 

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x để cos x = 1/2 Lời giải: + Vẽ đồ thị hàm số y = cos x. + Vẽ đường thẳng  + Xác định hoành độ các giao điểm. Ta thấy đường thẳng  cắt đồ thị hàm số y = cos x tại các điểm có hoành độ

Bài 6 (trang 18 SGK Đại số 11): 

Dựa trên đồ thị hàm số y = sin x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương. Lời giải: Đồ thị hàm số y = sin x: Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy y = sin x > 0 ⇔ x ∈ (-2π; -π) ∪ (0; π) ∪ (2π; 3π) ∪… hay x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

Bài 7 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.   Lời giải: Đồ thị hàm số y = cos x: Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x ta thấy y = cos x < 0

Bài 8 (trang 18 SGK Đại số 11): 

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: Lời giải: a) Ta có: Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3. b) Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ -2 ≤ -2sin x ≤ 2 ⇒ 1 ≤ 3 – 2sin x ≤ 5 hay 1 ≤ y ≤ 5. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5. Kiến thức áp dụng
Với mọi x ∈ R ta luôn có : sin x ∈ [-1 ; 1] ; cos x ∈ [-1 ; 1].      

Các bài viết liên quan

Bài 3: Điện trường và cường độ điện trường-Đường sức điện

72 View

Bài 1: Điện tích Định luật Cu-lông

73 View

Bài 46 : Luyện tập : Anđehit - Xeton- Axit cacboxylic

72 View

Các bài viết được xem nhiều nhất

Theo dõi Captoc trên

Khoa học xã hội

Facebook Group

270.000 members

Khoa học tự nhiên

Facebook Group

96.000 members