Chi tiết thông tin

Bài 1: Hàm số lượng giác

108 View

Lý thuyết Hàm số lượng giác

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Hàm số sin và hàm số cosin a) Hàm số sin - Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sin x sin: R → R x → y = sin x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx. - Tập xác định của hàm số sin là R. - Là hàm số lẻ. b) Hàm số côsin - Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực cos x cos: R → R x → y = cos x được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là: y = cos x. - Tập xác định của hàm số cosin là R. - Là hàm số chẵn. 2. Hàm số tang và hàm số cotang a) Hàm số tang - Định nghĩa: Hàm số tang là hàm số được xác định bới công thức:

(cos x ≠ 0) - Kí hiệu là y = tan x - Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R{π/2 + kπ, k ∈ Z}. - Là hàm số lẻ. b) Hàm số cotang - Định nghĩa: Hàm số cotang là hàm số được xác định bới công thức:

(sin x ≠ 0) - Kí hiệu là y = cot x - Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R{kπ, k ∈ Z}. - Là hàm số lẻ. 3. Tính tuần hoàn của hàm lượng giác - Các hàm số y = sin x và y = cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2π. - Các hàm số y = tan x và y = cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kì π. 4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác a) Hàm số y = sin x - Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π]: Hàm số y = sin x đồng biến trên [0; π/2] và nghịch biến trên [π/2; π]

- Lưu ý: Vì y = sin x là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [–π; 0]

- Đồ thị hàm số y = sin x trên R: Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [–π; π] theo các vecto v→ = (2π; 0) và –v→ = (–2π; 0) - Tập giá trị của hàm số y = sin x là [–1; 1]

b) Hàm số y = cos x - Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ u→ = (-π/2; 0), ta được đồ thị của hàm số y = cos x.

- Hàm số y = cos x đồng biến trên [–π; 0] và nghịch biến trên [0; π] - Tập giá trị của hàm số y = cos x là [–1; 1] c) Hàm số y = tan x - Hàm số y = tan x đồng biến trên [0; π/2 ) - Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O => Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x trên [0; π/2 ), ta được đồ thị hàm số y = tan x trên (–π/2; 0]

- Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (–π/2 ; π/2) songsong với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tan x trên D. Tập giá trị của hàm số y = tan x là khoảng (–∞; +∞)

d) Hàm số y = cot x - Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0; π) - Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = cot x trên D. - Tập giá trị của hàm số y = cot x là khoảng (–∞; +∞)

Trả lời câu hỏi trang 4:

a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau: π/6; π/4; 1,5; 2; 3,1; 4,25; 5. b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung AM bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy π ≈ 3,14) Lời giải: a) sin π/6 = 1/2; cos π/6 = √3/2 sin π/4 = √2/2; cos π/4 = √2/2 sin⁡ 1,5 = 0,9975; cos⁡ 1,5 = 0,0707 sin⁡ 2 = 0,9093; cos⁡ 2 = -0,4161 sin⁡ 3,1 = 0,0416; cos⁡ 3,1 = -0,9991 sin⁡ 4,25 = -0,8950; cos⁡ 4,25 = -0,4461 sin⁡ 5 = -0,9589; cos⁡ 5 = 0,2837 b)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 6: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và cos(-x). Lời giải: sin⁡ x = -sin⁡(-x) cos⁡x = cos⁡(-x)

Trả lời câu hỏi trang 6:

Tìm những số T sao cho f(x + T) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số sau: a) f(x) = sinx; b) f(x) = tanx. Lời giải: a) T = k2π (k ∈ Z) b) T = kπ (k ∈ Z)

Bài 1 (trang 17 SGK Đại số 11):

Hãy xác định giá trị của x trên đoạn [- π ; 3π/2] để hàm số y = tan x: a. Nhận giá trị bằng 0 b. Nhận giá trị bằng 1 c. Nhận giá trị dương d. Nhận giá trị âm Lời giải: Quan sát đồ thị hàm số y = tan x trên đoạn [-π; 3π/2].

a. tan x = 0 tại các giá trị x = -π; 0; π. (Các điểm trục hoành cắt đồ thị hàm số y = tanx). b. tan x = 1 tại các giá trị x = -3π/4; π/4; 5π/4.

c. tan x > 0 với x ∈ (-π; -π/2) ∪ (0; π/2) ∪ (π; 3π/2). (Quan sát hình dưới)

d. tan x < 0 khi x ∈ [-π/2; 0) ∪ [π/2; π) (Quan sát hình dưới).

Kiến thức áp dụng

+ Hàm số y = tan x có chu kì π và có đồ thị:

Bài 2 (trang 17 SGK Đại số 11):

Tìm tập xác định của hàm số:

Lời giải: a) Hàm số

xác định ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ k.π (k ∈ Z). Tập xác định của hàm số là D = R {kπ, k ∈ Z}. b) Hàm số

xác định

Do đó (1) ⇔ 1 – cos x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ 1 ⇔ x ≠ k.2π. Vậy tập xác định của hàm số là D = R {k.2π, k ∈ Z}. c) Hàm số

xác định

Vậy tập xác định của hàm số là

d) Hàm số

xác định

Vậy tập xác định của hàm số là

Kiến thức áp dụng

+ Hàm phân thức xác định khi mẫu thức khác 0. + Hàm căn thức xác định khi biểu thức trong căn ≥ 0 + Hàm số y = tan x xác định ⇔ x ≠ π/2 + k.π (k ∈ Z) + Hàm số y = cot x xác định ⇔ x ≠ k.π (k ∈ Z).

Bài 3 (trang 17 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = | sin x| Lời giải: + Đồ thị hàm số y = sin x.

+ Ta có:

Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách: - Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0). - Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền hình phía dưới.

Kiến thức áp dụng

+ Đồ thị hàm số y = sin x (SGK Đại số Giải tích 11 – trang 9). + Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |f(x)| bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Bài 4 (trang 17 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng sin 2(x + kπ) = sin 2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin 2x Lời giải: + sin 2x (x + kπ) = sin (2x + k2π) = sin 2x, (k ∈ Z) (Do hàm số y = sin x có chu kì 2π). ⇒ Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π. + Hàm số y = sin 2x là hàm số tuần hoàn với chu kì π và là hàm số lẻ. Bảng biến thiên hàm số y = sin 2x trên [-π/2; π/2]

Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = sin 2x. Kiến thức áp dụng

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì a nếu f(x + a) = f(x) với mọi x ∈ R.

Bài 5 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các giá trị của x để cos x = 1/2 Lời giải: + Vẽ đồ thị hàm số y = cos x. + Vẽ đường thẳng

+ Xác định hoành độ các giao điểm.

Ta thấy đường thẳng

cắt đồ thị hàm số y = cos x tại các điểm có hoành độ

Bài 6 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa trên đồ thị hàm số y = sin x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương. Lời giải: Đồ thị hàm số y = sin x:

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy y = sin x > 0 ⇔ x ∈ (-2π; -π) ∪ (0; π) ∪ (2π; 3π) ∪… hay x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

Bài 7 (trang 18 SGK Đại số 11):

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm. Lời giải: Đồ thị hàm số y = cos x:

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x ta thấy y = cos x < 0

Bài 8 (trang 18 SGK Đại số 11):

Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

Lời giải: a) Ta có:

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3. b) Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ -2 ≤ -2sin x ≤ 2 ⇒ 1 ≤ 3 – 2sin x ≤ 5 hay 1 ≤ y ≤ 5. Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5. Kiến thức áp dụng

Với mọi x ∈ R ta luôn có : sin x ∈ [-1 ; 1] ; cos x ∈ [-1 ; 1].